前提 古典力学の導出 前提 この記事では、古典力学は確率モデルだという立場からスタートします。(強い思想) 通常、古典的質点の運動は、ハミルトンの運動方程式 \begin{eqnarray} \frac{dx}{dt}&=&\frac{\partial H}{\partial p}(x,p) \\ \frac{dp}{dt}&=&-\frac{\partial H}{\partial x}(x,p) \end{eqnarray} を満たすように位置$x$と運動量$p$が時間変化する力学の理論として扱われています。 しかし、量子論と対比すると、確率モデルの一種であると考える方が都合が良いです。 位相空間上の確率密度分布$\rho(x,p,t)$の時間発展はリウヴィル方程式 \begin{eqnarray} \frac{\partial \rho}{\partial t}&=&\frac{\p
Tutorial talk for the Categorical Probability and Statistics workshop 2020: http://perimeterinstitute.ca/personal/tfritz/2019/cps_workshop/ Title: What is a probability monad? Speaker: Paolo Perrone Topics: - Basic intuition for monads - Basic intuition for probability monads (starting at 08:10) - The distribution monad (starting at 13:45) - The Giry monad (starting at 18:25) - Overview of oth
バート・ジェイコブスとコラボレーター達は、現状のベイズ確率論で使われている概念・用語・記法とは異なる、完全に新しい概念・用語・記法を提案しています。悪しき風習やしがらみを断ち切って、理論をリフォーミュレートしたのです。 従来のやり方に慣れている方は、彼らのスタイルに強い違和感を持つかもしれません。しかし、白紙で考えれば、とても使いやすいものです。僕は、ジェイコブス・スタイルを若干アレンジして使っているのですが、ほんとに気持ちよくて、従来方式に戻る気にはなれません。 今日は、その内容の詳細までは解説しませんが、基本概念だけに絞って雰囲気を紹介します（それでもけっこうな長さになりました）。 内容： ベイズ確率論を整理して再構成する 状態変換子と述語変換子 確率的状態 確率的状態変換子とチャンネル チャンネルについてもう少し 状態とチャンネルの実例 ファジー述語 ベイズ論理／ベイズ計算に向けて
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「超曖昧語「母集団」「標本」にケリをつける // ID列と独立ベキ測度の前送り定理」で、間違いを書いてしまい訂正しました。訂正のところに、「たぶん間違った理由を説明します、後日」と書いてますが、間違いを説明するだけでは建設的でないので、「独立ベキ測度の前送り定理」をほぼセルフコンテインドな形で説明します。 そして、どこからともなく唐突に現れるIID〈independent and identically distributed〉な確率変数達は、もとの確率変数（母集団の変量）から具体的に構成できるシロモノであることを示します。 内容： はじめに 準備：写像の一般論 準備：可測写像の独立性 準備：確率空間の独立積と独立ベキ 独立ベキ測度の前送り定理 IID列を作る IID列の独立性 おわりに はじめに この記事のエッセンスは、与えられた確率空間 A = (ΩA, ΣA, μA) に対して、独立
曖昧・多義的に使われている専門用語は全然珍しくありません。確率・統計の分野でも、たくさんの曖昧語・多義語が登場します。そのなかでも、特に曖昧性がひどく、意味不明の四天王だと僕が思っている言葉は、 確率変数 分布 母集団 標本 です。どれも手強くて、「四天王の中でも最弱」とか「最強」とかの順位付けは難しいです。 *1 「確率変数」については何度も話題にしています。2つだけ過去記事を選ぶなら： 「確率変数」と言うのはやめよう 「確率変数」の正体は米田埋め込み 「分布」に関しては： 確率・統計の「分布」の意味と使用法 心が安らぐ「分布の空間」を定義してみる 今回この記事では、残る2つの超曖昧語「母集団」「標本」について、出来る限りの解明を試みます。中心的話題は、「標本」に対するまったくかけ離れた2つの定義を結びつけることです。2つの定義を結びつけるために、「独立ベキ測度の前送り定理」を紹介します
講義内容予告 PDF 講義ノート PDF 宿題に関する注意 宿題はTeXで作成して、印刷したものを提出してください。宿題に関する注意は昨年度のものを参照してください。連絡事項 初回は4/11です。進行表 4/11 測度空間、カラテオドリの拡張定理 宿題1 (1.5はカラテオドリの拡張定理を認める)4/18 pi-lambda定理、完備化、Lebesgue-Stieltjes測度 宿題24/25 可測関数 宿題35/2 積分の定義 宿題4 (講義ノートのp.32-33は自習しておいてください)5/9 積分の性質 宿題55/16 直積測度、Fubiniの定理、確率空間 宿題65/23 期待値、確率変数の収束 宿題7 (宿題7の提出は5/30の補講時に変更します)5/30 (補講) 独立性 宿題86/6 休講6/13 独立確率変数列の構成、大数の弱法則、Borel-Cantelliの補題 宿題9
比較的最近書いた記事「同時確率分布の圏の使用例：超具体的」、「アブダクションと確率的推論」などで触れたように、確率（真である度合）を使った推論や判断が面白な―、と思っています。 でも、確率的推論・判断のための計算ってけっこう難しいです。系統的な計算手順も必要だし、何をどう計算するかの指針を与える手法も欲しいです。ここでは、行列／テンソル計算（計算手順）とストリング図（指針策定）を使った方法を紹介します。内容的には“マルコフ・テンソルの圏”を扱うのですが、厳密な定義や根拠／背景は省略して、具体的な例題を中心に述べます。 随分と長い記事です。この記事全体のまとめや言い残したことなどを最後に書いているので、「おわりに」から先に読むのもいいかも知れません。 内容： 状況設定と問題 どんな道具を使うのか：マルコフ行列 何もしないときの平均損失 行列計算で考える 薬を飲むときの平均損失 2変数損失関数
確率変数とは何かについてのメモ 変数としての確率変数 「確率変数の和」をどう定義するか? 関数としての確率変数 関数としての確率変数と変数としての確率変数 目次 変数としての確率変数 偶然性、ランダム性 「確率変数の和」をどう定義するか? 関数としての確率変数 関数としての確率変数と変数としての確率変数 1. 変数としての確率変数 確率変数とは何かというと、暫定的には (1) 確率変数とは、確率の定まっている集合Ωを変域とする変数のことであると、とりあえずは説明できる。 そうすると次は「ある集合に確率が定まっている」のがどういうことなのかの説明がいる。 「ある集合Ωに確率が定まっている」というのは、その集合Ωの各部分集合A、B、C……に対して、確率と呼ばれる値P(A)、P(B)、P(C)……が どの部分集合Aについても、 0 ≦ P(A) ≦ 1 P(Ω) = 1 A∩B = φ (AとB
確率変数（random variable, stochastic variable）という言葉の意味が分からない！ と何度か書いています。 2015-05-26 「確率変数」と言うのはやめよう 2015-05-27 「分布、測度、密度」は同じか違うか 2015-06-17 まだ「確率変数」が分からない 結局分からないままでした。「慣れ」の問題かも？ と思ったこともあります。 2015-05-28 「慣れれば分かる」問題 慣れることも出来ませんでした。 最近、「これなら納得できるかな」という解釈に出会いました。 [追記 date="翌日"]最後に分かりやすいマトメを付けました。[/追記] 内容： 「確率変数」はなぜ分からないのか アレックス・シンプソンのアイディア 「確率変数」の2つの用法 確率空間と圏Prob 測度論的確率変数 曖昧な確率変数 前層と米田埋め込み 米田埋め込みとしての確率変
帰無仮説のもとでp値の分布が一様分布になるらしいのですが、納得できるちゃんとした証明が検索しても出てこなかったので書いておきます。 p値とは何かとか、帰無仮説とは何かみたいな解説は省略します。 証明 を観測値の帰無仮説の分布、をの累積分布関数 をp値の分布、をの累積分布関数とする。 は連続分布で、が逆関数を持つものと仮定する。 （注: 分布の累積分布関数はを満たすような関数） 観測値が帰無仮説に従うとき、が上の一様分布であることを示す。 上の一様分布の累積分布関数は上でという値を取ることと、p値は上の値しか取らないことから、であることを示せばが上の一様分布に従うことが分かる。 観測値がのときのp値をとするとp値の定義より が成り立つ。 （が連続分布と仮定しているので） また、が単調増加することから、 が成り立つ。 以上より、 したがって、であることが分かったのでp値が上の一様分布であること
(This article is also published at Medium ) Applicative functors are useful for encoding context-free effects. This typically gets put to work around things like parsing or validation , but if you have a statistical bent then an applicative structure will be familiar to you as an encoder of independence . In this article I’ll give a whirlwind tour of probability monads and algebraic freeness, and
A Concrete Introduction to Probability (using Python)¶This notebook covers the basics of probability theory, with Python 3 implementations. (You should have some background in probability and Python.) In 1814, Pierre-Simon Laplace wrote: Probability ... is thus simply a fraction whose numerator is the number of favorable cases and whose denominator is the number of all the cases possible ... when
「簡易版・ボレルのパラドックスとその解釈：R言語を使って」のコメント欄にて、id:hokuto-heiさんにベルトランのパラドックスを教えていただきました。ベルトランのパラドックスは、hokuto-heiさんのエントリーにもWikipediaにも詳しく載っています。 hokuto-heiさんのエントリー Wikipediaの項目 ボレルのパラドックスもベルトランのパラドックスも、同一の確率的枠組み（測度は未定）に、異なる確率分布（具体的な測度）をいくらでも作れて、それらのどれも「原理的な部分で否定する理由は全くない」（by hokuto-hei）という趣旨です。 パラドックス（逆説）という名前は付いてますが、実際はパラドックスではないので、以下、ベルトラン問題、ボレル問題と呼ぶことにします。ここでのボレル問題は、オリジナルである球面上の大円に関するものではなくて、僕が簡易化した円板に関する
ボレルのパラドックス（あるいは、ボレル／コルモゴロフのパラドックス）と呼ばれる議論の簡易化したバージョンを紹介します。 問題と2つの解答 ダーツとかアーチェリーのマトを考えてください。次の図のようなものです。 水色の円の半径を1とします。赤い円の半径は1/3です。赤い所に矢が刺さると「当たり」だとします。矢がどこに刺さるかはまったくのランダムです。ただし、矢が水色の円の外に出ることはないとします。外に出ても無視して勘定に入れないと思ってもかまいません。 このとき、矢が赤い所に当たる確率はいくつでしょうか？ というのが問題です。 解答例その1： 水色の円の面積は 1×1×π = π、赤い円の面積は 1/3×1/3×π = 1/9π だから、赤い円に矢が入る確率は 1/9。 解答例その2： 円は、中心から放射状に出る長さ1の線分が集まって構成される。どの線分に矢が刺さるかは同じ確率なので、1本
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