电子科技大学图论及其应用第二章课后习题完整答案

图论是离散数学的一个重要分支，主要研究点与点之间相互连接的结构，即图。在电子科技大学的《图论及其应用》第二章中，涉及了关于树、度数、生成树、割边和自环等核心概念。以下是这些知识点的详细说明： 1. **非平凡树的最长路**：非平凡树是指至少有两个顶点的树。证明表明，这样的树的最长路径的两端都是度为1的顶点。这是因为如果最长路径的某端点度大于1，可以通过添加未使用的邻接点形成更长的路径，违反了最长路径的定义。 2. **恰有两个1度顶点的树是路**：这个证明利用了树的性质和握手引理。若树不是一条路，即存在度大于2的顶点，根据握手引理（所有顶点的度数之和等于边数的两倍），会导致边数大于顶点数减1，与树的定义矛盾。因此，这样的树只能是一条路。 3. **树的最小度数与1度顶点数量关系**：如果树的度数下界为k，那么树至少有k个度为1的顶点。反证法指出，如果1度顶点少于k，根据握手定理，边数会小于顶点数减1，这不是树的特性。 4. **森林的奇度点与边的关系**：在森林中，如果恰有k个奇度点，那么森林可以被分解为k条边不重的路径。这是通过归纳法完成的，对于任意大小的森林，都可以找到相应的路径分解。 5. **树的度序列**：正整数序列12(,,,)kd dd表示一棵树的度序列，当且仅当序列和等于所有顶点数减去1（即112(1)nidn）。证明使用了数学归纳，确保无论树的大小如何，这个条件总是成立的。 6. **任意树的子图**：对于任何具有至少k+1个顶点的树T，只要简单图G的最小度数大于等于k，G就一定包含一个与T同构的子图。这个证明同样采用归纳法，每次增加一个顶点，直到构建出与T相同的结构。 7. **生成树与割边、自环**：割边是图中去除后导致图不连通的边，自环是连接同一顶点的边。割边在每棵生成树中都必须存在，而自环不能出现在任何生成树中。这是通过对生成树的性质进行分析得出的。 8. **定理4的证明**：由于没有提供定理4的具体内容，这里无法给出详细的证明。通常，图论中的定理可能涉及图的连通性、欧拉路径、哈密顿回路等问题。 9. **度数为偶数的连通图**：这样的图可以构成一个包含所有边的回路。通过归纳法，可以从图中构造出一个包含所有边的回路，初始时，图中至少有一个圈，然后逐步处理包含偶数度顶点的子图，最终构建出所需回路。 以上就是《图论及其应用》第二章课后习题中涉及的主要知识点，它们深入探讨了树的性质、图的结构以及生成树、割边和自环的概念，这些都是图论中基础而重要的内容。通过理解和掌握这些知识点，可以为进一步研究图论打下坚实的基础。