概率论与数理统计 知识点汇总.pdf

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的数学分支，它在计算机科学（特别是CS领域）中有着广泛的应用，如机器学习、数据挖掘、人工智能等。以下是对这些知识点的详细解释： 1. **随机事件和概率**：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。概率是衡量随机事件发生的可能性，取值范围在0到1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。 2. **排列组合公式**：排列是从n个不同元素中取出m个元素并考虑其顺序的组合方式，计算公式为`P(n, m) = n! / (n-m)!`。组合是不考虑元素顺序的选取，计算公式为`C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]`。 3. **加法原理和乘法原理**：加法原理用于计算两种或多种方法完成同一任务的总方法数，将各自的方法数相加。乘法原理则用于计算多个步骤连续执行的任务，将每个步骤的方法数相乘。 4. **随机试验和随机事件**：随机试验是在相同条件下可重复进行，每次试验有多种可能结果的实验。随机事件是随机试验中可能出现的结果集合。 5. **基本事件、样本空间和事件**：基本事件是随机试验的最小结果单位，样本空间是所有基本事件的集合，事件是样本空间的子集。Ω表示样本空间，Ø表示不可能事件。 6. **事件的关系与运算**：事件的关系包括包含（A⊆B）、等价（A=B）、互斥（A∩B=Ø）和对立（A+A=Ω，A+Ø=Ω，A+Ω=A）。事件的运算是集合运算的推广，如并集（A∪B）、交集（A∩B）、差集（A-B）和积集（AB）。 7. **概率的公理化定义**：概率P(A)满足0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，以及对任意可列互斥事件的可列可加性。 8. **古典概型**：在有限样本空间中，每个基本事件发生的概率相等时，可以使用古典概型计算事件的概率。 9. **几何概型**：在无限但有界的空间内，通过几何度量（如长度、面积、体积）来计算事件的概率。 10. **加法公式**：P(A+B)表示事件A或B至少发生一个的概率，等于P(A)加上P(B)减去两者同时发生的概率P(AB)。 11. **减法公式**：P(A-B)表示A发生但B不发生的情况，等于P(A)减去P(AB)。 12. **条件概率**：P(B|A)是已知事件A发生时，事件B发生的概率。满足P(Ω|A)=1和P(Ø|A)=0。 13. **乘法公式**：事件A和B独立时，P(AB)=P(A)P(B)，这是概率乘法规则。对于多个独立事件，类似的公式也成立。 14. **独立性**：事件A和B独立意味着A的发生不会影响B的发生概率，反之亦然。若事件A、B和C两两独立，那么A、B、C也相互独立。 15. **全概公式**：对于互斥事件A1,A2,...,An，全概公式P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)。 16. **贝叶斯公式**：给定一系列事件B1,B2,...,Bn和一个条件事件A，贝叶斯公式提供了在观察到B发生后，更新对A概率估计的方法。P(A|B)=P(B|A)P(A) / P(B)，这里的P(B|A)是先验概率，P(A|B)是后验概率。 这些概念构成了概率论与数理统计的基础，对于理解和应用统计分析、概率模型构建以及在CS领域的决策制定至关重要。