图的邻接表，Djkstra算法求单源最短路径

图的邻接表是计算机科学中用于表示图数据结构的一种方式，它在处理大量边的图时具有较高的效率。在图的邻接表中，每个顶点都有一个列表，存储了与该顶点相连的所有边的目标顶点。这种方式节省了空间，因为对于稀疏图（边的数量远小于顶点数量的平方）来说，邻接表比邻接矩阵更加紧凑。 Dijkstra算法是求解图中单源最短路径问题的经典算法，由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻于1956年提出。它保证找到从源节点到其他所有节点的最短路径，并且是贪婪算法的一个典型应用。Dijkstra算法的主要思想是从源节点开始，逐步扩展最短路径，每次选择当前未访问节点中距离源节点最近的一个，并更新其相邻节点的距离。 算法步骤如下： 1. 初始化：将源节点设置为已访问，距离设为0；所有其他节点标记为未访问，距离设为无穷大。 2. 找出未访问节点中距离最小的一个，记为u。 3. 更新u的所有未访问邻居v，如果通过u到达v的路径比当前记录的最短路径更短，则更新v的距离。 4. 将u标记为已访问。 5. 重复步骤2-4，直到所有节点都被访问过。 Dijkstra算法的关键在于有效的优先队列实现，如二叉堆、斐波那契堆等，用于快速获取距离最小的未访问节点。在邻接表中，我们可以通过遍历每个顶点的邻接节点列表来执行这个过程，这比在邻接矩阵中进行操作更快。 为了优化Dijkstra算法，可以采用以下策略： - 使用优先队列（如二叉堆）来存储待处理的节点，以O(log n)的时间复杂度取出最近的节点。 - 在邻接表中，对每个顶点的邻居列表进行排序，便于快速找到距离最小的邻居。 - 对于带权重的负边，Dijkstra算法不适用，此时可以考虑使用Bellman-Ford算法或其他适合负权边的算法。 在实际应用中，图的邻接表和Dijkstra算法广泛应用于网络路由、交通导航、社交网络分析等领域。例如，互联网路由协议中的RIP和OSPF就利用了类似的思想来计算最短路径。在编程竞赛和算法设计中，理解和掌握这两种数据结构和算法也是非常重要的技能。