反幂法求矩阵特征值 以及特征向量

反幂法是一种求解矩阵特征值和特征向量的有效算法，尤其适用于工程计算中的便捷求解。这种方法主要用于寻找矩阵按模最小的特征值及其对应的特征向量，也可以用来计算特定近似特征值的特征向量。 矩阵 \( A \) 的特征值通常表示为 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\)，其中 \(\lambda_1\) 是最大模的特征值，而 \(-\lambda_n\) 是最小模的特征值。如果 \(A\) 是非奇异矩阵，那么它的逆矩阵 \(A^{-1}\) 存在，利用反幂法可以转换求最小模特征值的问题为求最大模特征值的问题。具体来说，我们想要找到 \(A^{-1}\) 的最大模特征值 \(-\lambda_n\)，这样就能得到 \(A\) 的最小模特征值 \(\lambda_n\)。 反幂法的迭代公式如下： \[ v_{k+1} = \frac{v_k - \lambda_k A v_k}{\|v_k - \lambda_k A v_k\|} \] 这里，\(v_0\) 是任意非零初始向量，\(v_k\) 是第 \(k\) 次迭代后的向量，\(\lambda_k\) 是在第 \(k\) 次迭代时对 \(-\lambda_n\) 的估计。向量 \(v_k\) 可以通过解线性方程组 \(A v = \lambda_k v_k\) 来得到。 定理 15 表明，对于满足一定条件的非奇异矩阵 \(A\)，反幂法的向量序列 \(v_k\) 会收敛到对应的特征向量，并且收敛速度与特征值的分离度有关。如果存在 \(A^{-1}\)，则可以利用原点平移法加速迭代过程，或求其他特征值和特征向量。 例如，考虑矩阵 \(A - \lambda I\)，其中 \(\lambda\) 是 \(A\) 的一个近似特征值。应用幂法于 \(A - \lambda I\)，可以得到反幂法的迭代公式： \[ v_{k+1} = \frac{(A - \lambda I)^{-1} v_k}{\|(A - \lambda I)^{-1} v_k\|} \] 当 \(\lambda\) 与其它特征值分离，且是 \(A\) 的主特征值时，反幂法特别有效。对于矩阵 \(A\)，如果有 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 和对应的特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\)，可以通过反幂法迭代公式（2.12）找到这些特征值和特征向量，其中 \(p\) 是 \(A - \lambda I\) 的逆矩阵。 在实际计算过程中，可以通过矩阵 \(A^{-1}\) 的三角分解（如LU分解）来减少计算量。例如，如果 \(A^{-1} = PLU\)，那么求解 \(A^{-1}v\) 相当于解两个三角形方程组。选择初始向量 \(v\) 使其满足 \(v^T P L U v = (1, 1, \ldots, 1)^T\)，这可以通过回代法解决。 反幂法提供了一种实用的计算矩阵特征值和特征向量的方法，特别是在处理大矩阵时，能够显著提高计算效率。只要选择合适的初始向量和近似特征值，并确保矩阵的特征值分离良好，反幂法就能够高效、准确地求解问题。