这些题目涵盖了排列组合的基本概念和应用,涉及到不同的计数原则,包括排列、组合、分步计数、分类计数以及二项式定理等。以下是这些题目的详细解答:
1. 将3个不同的小球放入4个盒子中,考虑空盒情况,每个小球有4种放法,所以共有 \(4^3 = 64\) 种放法,答案是B。
2. 排列问题中,甲、乙两人至少有一人在两端,可以先安排甲、乙,再安排剩下的3人,所以有 \(2 \times 3 \times 3! = 36\) 种排法,答案是C。
3. 选1名组长1名副组长,但a不能当副组长,所以组长有5种选择,副组长有4种选择,但当组长选a时,副组长只能有4种选择,因此总共有 \(5 \times 4 - 1 \times 4 = 16\) 种选法,答案是B。
4. 这是一个组合问题,男生选2人有 \(_C_2^M\) 种方法,女生选1人有 \(_C_1^F\) 种方法,竞赛组合有3种方式,所以共有 \(_C_2^M \times _C_1^F \times 3 = 90\) 种方案。设男生M人,女生F人,根据题意有 \(_C_M^2 \times _F^1 \times 3 = 90\),解得 \(M=3\),\(F=5\),答案是B。
5. 展开式 \((8-3x)^5\) 中的常数项是 \((-3x)^5\) 的系数,即 \((-3)^5 = -243\),答案是D。
6. 展开式 \((x+\frac{1}{2})^5\) 中的 \(3x\) 项是 \(C_5^2x^3(\frac{1}{2})^2\),系数为 \(_C_5^2 \times \frac{1}{4} = 10\),答案是C。
7. 展开式 \((x+y)^n\) 中只有第六项二项式系数最大,说明 \(n=10\),常数项为 \(_C_{10}^5 = 252\),答案是D。
8. 组合数问题,小于50000的偶数最后一位必须是2或4,首位不能是5,所以共有 \(_C_4^1 \times _C_3^1 + _C_3^1 \times _C_4^1 = 24\) 种,答案是D。
9. 将3张电影票分给10个人,每个人至多一张,这是典型的插板法问题,有9个空隙,插入2个板,有 \(_C_9^2 = 36\) 种方法,答案是C。
10. 乘积 \((55)\times(56)\times(69)\) 可以理解为 \(55!\div 52!\),所以 \(55!\) 包含了55个5,54个4,…,直到2个2,1个1,而 \(52!\) 包含了52个5,51个4,…,1个1,因此 \(55!\div 52!\) 只剩下 \(55 \times 56 \times 69 = 214560\),答案是B。
由于篇幅限制,无法一一列出所有题目的解答,但可以看出这些都是排列组合和二项式定理的基础问题,涉及的主要知识点包括组合数计算、排列计算、插板法、二项式定理的应用等。解答这些问题需要对这些基本概念和计算规则有深入理解。