《抽象与线性代数元素》一书由E.H. Connell编写，是关于抽象代数和线性代数的基础理论介绍。此书源于作者在1965年首次教授抽象代数课程的经验，该课程因其有趣的内容和出色的学生而备受好评。此后，Connell多次教授该课程，并逐渐形成了一套完整的讲义，最终于1985年将其整理成书，现作为本书的前五章。
### 重要特点与动机
1. **短小精悍**：Connell强调书籍应尽可能短小且经济实惠，因为根据他的经验，学生倾向于喜欢篇幅较小的教材。
2. **避免创新**：组织材料时采取最直接、简单的方法，避免复杂的概念引入，使学习过程更为平滑。
3. **线性顺序**：内容安排上遵循严格的线性顺序，每一章节都基于前一章节的内容，并为后续章节铺垫，形成连贯的学习路径。
4. **精简主题**：专注于基础且核心的主题，特别是线性代数，优先级高于群论和环论等更高级的代数结构。书中包含许多未证明的定理，鼓励学生自行证明，以此培养逻辑思维能力和证明技巧。
5. **面向科学与计算机科学专业**：考虑到非数学专业的学生（如物理科学和计算机科学专业）对抽象代数的兴趣较低，本书旨在提供一个更适合这些学科背景学生的入门教材，强调矩阵理论和线性代数的应用。
### 抽象代数概览
抽象代数主要研究代数结构，如群、环、域等，以及它们之间的关系。通过抽象化，它能够揭示不同数学对象之间的共性和结构，从而加深对数学本质的理解。本书涵盖的抽象代数基础包括：
- **群论**：介绍群的基本定义、性质和子群的概念，讨论同态和同构，以及拉格朗日定理。
- **环论**：定义环、域和理想，探讨整环和除环的区别，介绍多项式环的基本性质。
- **域论**：研究域的扩展，包括最小多项式和分裂域的概念，探索伽罗瓦理论的基础。
### 线性代数核心
线性代数是处理向量空间（或线性空间）及其线性变换的数学分支。本书强调了以下关键概念：
- **向量空间**：定义向量空间及其基本属性，包括线性组合、基、维度和线性独立性。
- **矩阵理论**：介绍矩阵运算，包括加法、乘法和转置，解释行列式的计算方法和性质。
- **线性变换**：探讨线性变换的定义和性质，讲解如何用矩阵表示线性变换，以及特征值和特征向量的概念。
- **内积空间**：讨论内积空间的定义，以及正交性、正交补和正交投影的重要性。
- **对称矩阵与二次型**：分析对称矩阵的性质，以及它们在二次型分类中的作用。
### 教学目标与读者对象
《抽象与线性代数元素》一书旨在为本科生提供一个清晰、简洁的数学基础，特别适合对抽象代数和线性代数感兴趣但又不希望深入数学专业领域的学生，如物理学、工程学和计算机科学专业的学生。通过本书的学习，学生不仅能够掌握抽象代数和线性代数的基本理论，还能培养出较强的逻辑思维和问题解决能力，为未来的学习和研究奠定坚实的基础。
