实验三 MATLAB的符号矩阵运算与符号微积分

理解符号变量、符号表达式、符号矩阵等概念，掌握符号矩阵和符号表达式的创建，了解符号运算与数值运算的不同点，会修改已有的符号矩阵，并会符号矩阵与数值矩阵的相互转换，掌握符号矩阵矩阵的运算。熟练掌握符号求极限、符号求微分（导数）、符号求积分（不定积分和定积分），掌握符号代数方程（组）求解、符号微分方程（组）求解，了解符号积分变换。 ### 实验三 MATLAB的符号矩阵运算与符号微积分 #### 一、实验目的 本实验旨在深入学习MATLAB中的符号运算工具包Symbolic Math Toolbox，掌握符号矩阵的创建与修改方法，以及各种符号运算的基本操作。通过本次实验，学生应能够熟练地使用MATLAB进行符号求极限、微分、积分等运算，以及解决符号代数方程和微分方程等问题。 #### 二、实验要求 1. **理解符号变量、符号表达式、符号矩阵的概念**：明确它们之间的区别与联系，了解它们在MATLAB中的表示形式。 2. **掌握符号矩阵和符号表达式的创建**：学会使用`sym`和`syms`命令创建单个或多个符号变量及表达式。 3. **了解符号运算与数值运算的区别**：认识到在执行运算时，符号运算更侧重于解析解而非数值解。 4. **熟悉符号矩阵与数值矩阵之间的转换**：掌握如何使用`vpa`和`digits`等函数来进行精度控制，以及如何使用`subs`函数进行变量替换。 5. **掌握符号矩阵的运算**：包括基本的加减乘除、行列式、逆矩阵、秩等运算。 6. **熟练掌握符号微积分运算**：包括求极限、求导数、求积分等。 7. **掌握符号方程（组）的求解**：包括代数方程和微分方程的求解。 8. **了解符号积分变换**：虽然不是本次实验的重点，但了解其基本原理也很重要。 #### 三、实验内容详解 ##### 1. 符号变量与符号表达式 - **定义格式**： - `sym('变量名')` 或 `sym('表达式')`：定义单个符号变量或表达式。 - `syms 变量名1 变量名2 ... 变量名n`：定义多个符号变量。 - **示例**： ```matlab syms x y z f = sym('x + y*z'); ``` ##### 2. 符号表达式的生成 - **创建符号函数**：`f = 'log(x)'` 或 `f = sym('sin(x)')`。 - **创建符号方程**：`eqation = 'a*x^2 + b*x + c = 0'` 或直接使用符号变量进行定义。 - **创建符号微分方程**：`diffeq = 'Dy - y = x'`。 ##### 3. 符号与数值之间的转换 - **`digits` 函数**：设置近似解的精度，例如：`digits(15)`。 - **`vpa` 函数**：实现符号表达式的数值化，例如：`R = vpa(f, D)` 表示将符号表达式`f`转换为`D`位精度的数值。 - **`subs` 函数**：进行变量替换，例如：`subs(S, OLD, NEW)`。 ##### 4. 符号函数的运算 - **复合函数运算**：使用`compose`函数，例如：`compose(f, g, z)`。 - **反函数运算**：使用`finverse`函数，例如：`g = finverse(f)` 或 `g = finverse(f, v)`。 ##### 5. 符号矩阵的创建 - **直接使用`sym`函数创建**：例如：`M = sym('[1 2; 3 4]')`。 - **使用子阵创建**：通过组合多个子矩阵形成完整矩阵。 - **将数值矩阵转化为符号矩阵**：可以使用`sym`函数对现有数值矩阵进行转换。 ##### 6. 符号矩阵的运算 - **基本运算**：加（`+`）、减（`-`）、乘（`*`）、除（`/`、`\`）、转置（`'`）。 - **高级运算**： - 行列式运算：`det()`。 - 逆矩阵运算：`inv()`。 - 秩运算：`rank()`。 - 指数运算：`exp()`。 - 矩阵分解：特征值分解`eig`、奇异解分解`svd`、约当标准型`jordan`。 ##### 7. 矩阵的空间运算 - **列空间运算函数**：`colspace`。 - **零空间运算函数**：`null`，例如：`z = null(A)` 或 `z = null(A, 'r')`。 ##### 8. 符号矩阵的简化 - **因式分解**：使用`factor`函数，例如：`factor(S)`。 - **展开**：使用`expand`函数，例如：`expand(S)`。 - **同类项合并**：使用`collect`函数。 通过以上内容的学习，学生能够系统地掌握MATLAB中的符号运算方法，提高解决数学问题的能力。