HW7-1- solution_1184814847.pdf

根据提供的文件信息，我们可以推断出这份文档主要讨论了一个与电容器充电和放电过程相关的电路分析问题。这里的关键知识点包括电容器的行为、开关在电路中的作用、时间常数的概念及其计算方法，以及如何利用这些信息来求解电容器电压随时间变化的表达式。 ### 电容器的基本行为 电容器是一种能够储存电荷的电子元件，在电路中具有非常重要的作用。当一个电容器接到电源上时，它会逐渐充电，直至其两端的电压等于电源电压。同样地，如果将电容器通过电阻器连接到地线或其他低电位点，它会逐渐放电。电容器的这种充放电特性是本案例研究的重点。 ### 开关的作用 在本案例中，提到的“开关”是在电路中用于控制电流路径的器件。在不同的时刻，开关会被连接到不同的节点（B或C），从而改变电路的配置。这种配置的变化直接影响了电容器的充放电过程，进而决定了电容器两端电压的变化规律。 ### 时间常数的计算及其意义 时间常数是一个重要的概念，它反映了电路中电容或电感元件充放电速度的快慢。在RC电路中，时间常数τ由电阻R和电容C的乘积给出，即τ = RC。在这个例子中，有两个不同的时间常数，分别对应于电容器从A到B的充电过程（RB * C = 500kΩ * 2μF = 1000s）和从B到C的放电过程（Rc * C = 1kΩ * 2μF = 2s）。这意味着，当开关从A切换到B时，电容器开始通过500kΩ的电阻充电，而当开关从B切换到C时，电容器开始通过1kΩ的电阻放电。 ### 电容器电压的计算 根据题目描述，当t=0-时，电容器处于稳定状态，其电压v(0-)=12V。当t=0+时，开关连接到了B，此时电容器开始充电，其电压随时间变化的表达式为： \[ v(t) = 12e^{-\frac{t}{1000}} \]（其中0<t<1） 这个表达式表明了电容器充电过程中电压随时间指数衰减的情况。特别地，当t=1+时，开关被连接到了C，此时电容器开始放电，其初始电压v(1+)可以通过将t=1代入上面的公式得到： \[ v(1+) = 12e^{-\frac{1}{1000}} = 11.988V \] 接下来，当t>1时，电容器继续放电，其电压随时间变化的表达式变为： \[ v(t) = 11.988e^{-\frac{(t-1)}{2}} \] 该表达式描述了电容器在放电过程中电压随时间的变化情况。值得注意的是，这里的指数衰减率是由放电过程中的时间常数决定的，即2s。 通过对电容器充放电特性的分析，我们不仅了解了电容器在不同电路配置下的行为，还掌握了如何计算电容器电压随时间变化的数学表达式。这些知识对于理解和设计包含电容器的复杂电路至关重要。