离散数学复习题

离散数学是计算机科学的基础课程，它主要研究离散而非连续的对象，如集合、图、逻辑、计算理论等。在复习离散数学时，重点应该放在理解和应用关键概念上。以下是一些关于离散数学中代数结构部分的知识点： 1. **二元运算**：在代数系统中，二元运算是一种将两个元素结合生成新元素的操作。例如，整数集上的加法和乘法就是二元运算。 2. **代数系统**：一个由集合S和在其上定义的一个或多个运算组成的结构，其中运算必须满足特定的规则，比如封闭性和运算的定义。 3. **特殊元**：在代数系统中，特殊元包括单位元（对于加法是0，乘法是1）、零元（对于加法是任何元素加上它等于它自身）和逆元（对于加法是相反数，乘法是倒数）。 4. **同态与同构**：同态是指保持运算结构的映射，而同构则是指两个代数系统之间存在一一对应的同态关系，它们的结构是相同的。 5. **半群**：半群是具有一个二元运算且满足结合律的代数系统。如果半群中存在单位元，那么称为有单位元的半群。 6. **独异点**：如果半群中的每个元素都有逆元，即对于每个元素x，都存在一个元素y使得x*y=y*x=x，这样的半群被称为独异点。 7. **循环半群**：如果一个半群可以通过某个元素生成，即半群中的每个元素都是这个生成元的有限次运算结果，那么这个半群是循环的。 8. **群**：群是满足结合律、有单位元，并且每个元素都有逆元的代数系统。群是代数结构的核心，因为它综合了运算、逆元和单位元的概念。 9. **证明方法**：在离散数学中，通常需要通过直接证明来验证一个结构是否满足特定属性，例如，通过检验运算是否满足结合律、是否有单位元以及是否满足交换律等。 10. **练习题分析**： - 选择题第1题，<F,>，其中F={0,1}，运算是乘法，是一个独异点，因为1的逆元是1，但它没有单位元，所以选项B正确。 - 第2题，(N,)，其中N是自然数集，乘法运算构成一个有单位元的独异点，但不是群，因为不是每个元素都有逆元，所以选项B正确。 - 第3题，需要具体分析给出的运算来判断是否是二元运算。 - 第4题，有理数集Q关于普通乘法构成群，因为每个有理数都有倒数，所以选项D错误。 - 第5题，<F,>，其中F={-1,1}，乘法运算构成一个阿贝尔群且是循环群，因为1的逆元是1，1是生成元，所以选项D正确。 11. **证明题示例**： - 示例1证明了在整数集S上定义的min运算构成一个有单位元1的可交换半群。 - 示例2证明了在Zn上定义的模n加法运算构成一个循环群，其中1是生成元。 12. **练习题解答**： - 第2题需要证明在整数集Z上定义的运算x*y=x+y-xy构成一个独异点且满足交换律，然后找出所有可逆元素的逆元。 - 第3题需要证明在Z7上定义的模7加法构成一个循环群。 - 第4题涉及置换的表示，置换可以写成不交轮换的乘积形式。 - 第5题要求在集合S={1,2,3,4}上给出指定置换的表示。 - 第6题关于6阶循环群G=<a>，生成元是a，子群的数量可以通过拉格朗日定理来确定，即子群数量是6的因数个数。 复习离散数学时，不仅要掌握这些基本概念，还要通过大量的练习来熟悉证明和问题解决的方法，这对于理解计算机科学中的算法设计和复杂性分析至关重要。