2.1-矩阵的概念----2.2矩阵的运算.ppt

在数学和线性代数中，矩阵是一种基本的数学对象，用于表示和操作多变量的系统，如线性方程组。本节将详细介绍矩阵的概念及其运算。 矩阵是由m行n列排列的数构成的矩形数组，通常用大写字母A、B、C等表示。例如，一个2×4矩阵表示有2行4列的数组，而一个3×3矩阵则有3行3列。矩阵的元素用aij表示，其中i是行索引，j是列索引，1≤i≤m，1≤j≤n。例如，矩阵A=(aij)可以写作： A = [a11, a12, a13, a14; a21, a22, a23, a24] 当m=n时，矩阵被称为方阵。如果所有元素都为0，那么这个方阵就是零矩阵，通常记为O或0。如果矩阵的所有对角线元素（即aii）都为1，其余元素为0，则称为单位矩阵，记为I或En。 矩阵的记号有多种，例如(A)、(aij)、Am×n或(aij)m×n。当m=1时，矩阵成为行向量；当n=1时，矩阵成为列向量。当m=n=1时，矩阵只是一个数。 矩阵与行列式的主要区别在于： 1. 行列式是一个数，代表特定的数值，而矩阵是一个数据结构，存储了一组数。 2. 行列式使用垂直和水平线分隔元素，矩阵则使用括号表示。 3. 行列式必须有相同数量的行和列，而矩阵的行数和列数可以不同。 矩阵在解决线性方程组中扮演关键角色。线性方程组可以转化为系数矩阵A和常数项矩阵B的形式，形成增广矩阵[A | B]，其中A是m×n的系数矩阵，B是m×1的常数项矩阵，X是n×1的未知数矩阵。线性方程组的解与这些矩阵之间存在着一一对应的关系。 矩阵的运算主要包括加法、减法和乘法。矩阵加法定义为对应元素相加，例如，如果A和B是相同维度的矩阵，那么A+B是将A和B的每个对应元素相加。矩阵减法类似，是对应元素相减。矩阵乘法则较为复杂，它不是简单的元素对应相乘，而是按照特定规则进行，即将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列对应元素相乘后求和。这在数学上称为矩阵乘法，并不满足交换律。 此外，还有矩阵的转置、标量乘法、矩阵的乘幂等运算。逆矩阵是矩阵乘法的一个重要概念，对于非奇异矩阵（即行列式不为0的方阵），存在逆矩阵，记为A^-1，满足AA^-1 = A^-1A = I。 矩阵的初等变换是矩阵理论中的基础操作，包括行交换、行倍加和行标量乘法，这些变换对矩阵的秩、行列式以及解线性方程组的过程有重要影响。 总结来说，矩阵是线性代数的基础，用于表示和操作线性方程组，其运算规则和性质在各种科学和工程领域中都有广泛应用，如计算机图形学、物理学、经济学和控制理论等。