n皇后问题(回溯法)

### n皇后问题(回溯法) #### 一、问题背景 n皇后问题是一个经典的问题，在国际象棋中，皇后可以在同一行、同一列或者同一斜线上吃掉其他棋子。n皇后问题要求在一个n×n的棋盘上放置n个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。 #### 二、问题描述 在这个问题中，我们需要通过编程的方式解决n皇后问题，并使用回溯法来找到所有可能的解决方案。回溯法是一种通过试探搜索所有可能的解来寻找问题最优解的方法。它通过不断地尝试来构建问题的解，并且在发现当前路径无法达到解时，就撤销部分选择，返回到上一个决策点继续尝试其他的可能。 #### 三、核心算法解析 ##### 3.1 回溯算法概述 回溯算法是一种利用深度优先搜索策略解决问题的方法。其基本思想是从根节点开始，按照一定的顺序搜索节点，如果遇到某个节点无法达到目标，则退回上一层重新选择节点，直到找到所有可能的解。 ##### 3.2 核心函数详解 - **`valid(int i, int j)`**：此函数用于检查在第i行第j列放置皇后是否合法。合法的标准是不能与之前已经放置的皇后在同一行、同一列或同一对角线上。 - 检查是否在同一列：`if (j1 == j) b = false;` - 检查是否在同一对角线上：`if (abs(i - i1) == abs(j - j1)) b = false;` - **`trial(int i)`**：这是一个递归函数，用于尝试放置皇后。当第i行的所有皇后都放置完毕后，调用`print()`函数输出当前的布局。如果第i行还没放置完，那么就遍历该行的所有列，尝试放置皇后。 - 如果当前位置合法，则递归到下一行：`if (valid(i, j)) trial(i + 1);` - **`print()`**：此函数用于输出当前的布局情况。每次找到一种合法的布局后，都会调用这个函数进行输出。 #### 四、程序分析 ##### 4.1 变量定义 - `q`：表示皇后的数量，也是棋盘的边长。 - `a`：是一个一维数组，用于存储每个位置是否有皇后。为了方便索引，将二维坐标转换为一维索引：`i * q + j`。 - `count`：用于记录找到的合法布局的数量。 ##### 4.2 主函数流程 1. 首先读入皇后数量`q`。 2. 初始化数组`a`，将所有位置标记为空。 3. 调用`trial(0)`函数开始尝试放置第一个皇后。 4. 当所有皇后都放置完毕后，输出完成信息。 #### 五、运行示例 假设输入`q = 4`，即在一个4×4的棋盘上放置4个皇后： 1. 输出第一种布局： ``` 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ---------------------------------------- ``` 2. 输出第二种布局： ``` 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ---------------------------------------- ``` 以此类推，直到输出所有可能的布局。 #### 六、总结 n皇后问题是一个经典的回溯算法应用案例，通过对这个问题的研究，可以深入理解回溯法的基本原理及其应用场景。通过上述代码实现，我们可以看到回溯法是如何一步步探索所有可能性，并最终找到所有合法的解决方案的。