不动点定理+张奠宙,顾鹤荣-世界数学名题欣赏丛书.pdf

根据提供的信息，我们可以了解到这本书名为《世界数学名题欣赏丛书》的部分内容涉及“不动点定理”，并且由张奠宙和顾鹤荣两位作者编写。接下来，我们将对不动点定理进行详细介绍，并探讨其在数学领域的应用。 ### 不动点定理简介 不动点定理是数学中的一个重要概念，它在多个数学分支中都有广泛的应用，包括代数、几何、拓扑学以及分析学等。简单来说，如果一个函数\( f \)将集合\( X \)映射到自身，即\( f:X\rightarrow X \)，那么\( x \)被称为\( f \)的一个不动点，如果满足条件\( f(x) = x \)。 不动点的存在性问题一直是数学研究中的热点之一。不同的不动点定理在不同条件下给出不动点存在的充分或必要条件。其中，最著名的不动点定理由意大利数学家莱昂·布罗乌威尔（L. E. J. Brouwer）提出，称为布罗乌威尔不动点定理。 ### 布罗乌威尔不动点定理 布罗乌威尔不动点定理是拓扑学中的一个基本定理，它指出：对于每一个连续函数\( f:D^n\rightarrow D^n \)，其中\( D^n \)表示\( n \)-维单位球内部（包括边界），存在至少一个点\( x\in D^n \)，使得\( f(x)=x \)。这个点\( x \)就是所谓的不动点。 #### 定理的意义 1. **直观理解**：想象一下把一张纸放在桌子上，然后把这张纸折成任意形状后放回原位。无论怎么折叠，总会有一个点保持不变，即这个点在折叠前后位置相同。 2. **经济学应用**：在经济学中，不动点定理可以用来证明均衡价格的存在性。例如，在市场上，如果每个商品的价格都与其需求量相匹配，那么就存在一组价格，使得市场达到均衡状态。 3. **数学应用**：不动点定理在证明其他数学定理时也非常有用。比如，在代数拓扑中，它被用来证明某些空间的同伦类型。 ### 其他重要的不动点定理 除了布罗乌威尔不动点定理之外，还有许多其他的不动点定理，它们在不同的数学领域中有着广泛的应用： 1. **施瓦茨不动点定理**：对于复平面上的解析函数，如果该函数将某个闭合圆盘映射到自身内部，则至少存在一个不动点。 2. **班丘奇-柯托夫斯基定理**：在度量空间中，如果一个自映射是压缩的（即对任意两点的距离都有一定的减少比例），则该映射有唯一的不动点。 3. **塔克不动点定理**：在凸多面体上定义的连续映射总有一个不动点。 ### 结论 不动点定理不仅是数学理论的重要组成部分，也是连接理论与实际应用的桥梁。通过对这些定理的学习，不仅可以加深我们对数学原理的理解，还可以启发我们在现实世界中寻找解决问题的新途径。张奠宙和顾鹤荣编写的《世界数学名题欣赏丛书》中的不动点定理部分，相信能够为读者提供深入浅出的讲解，帮助大家更好地理解和掌握这一重要概念。