不定积分习题例题样题

### 不定积分习题解析 #### 第三章：不定积分 本章节主要讲解了几类典型的不定积分求解方法，通过例题的形式加深对各种解法的理解，并为即将到来的考试做准备。 ### 一、求下列不定积分 #### 1. 求解 \(\int \frac{1}{x^2-x+1} dx\) **解析**： \[ \int \frac{1}{x^2-x+1} dx = \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx \] 通过完成平方，我们可以将其转化为一个更易于处理的形式。利用换元 \(u = x - \frac{1}{2}\)，得到 \(du = dx\)，因此原式变为 \[ \int \frac{1}{u^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} du \] 这是一个标准的反正切函数积分形式，根据积分公式可以得到 \[ \int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C \] 代入 \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 和 \(u = x - \frac{1}{2}\) 得到最终答案 \[ \int \frac{1}{x^2-x+1} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2(x-\frac{1}{2})}{\sqrt{3}}\right) + C \] #### 2. 求解 \(\int \frac{1}{1+x+x^2} dx\) **解析**： 此题可以通过换元简化计算过程。令 \(u = x + \frac{1}{2}\)，则 \(du = dx\)，积分变为 \[ \int \frac{1}{(u+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} du \] 这同样是一个标准的反正切函数积分形式，根据积分公式得到 \[ \int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C \] 代入 \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 和 \(u = x + \frac{1}{2}\) 得到最终答案 \[ \int \frac{1}{1+x+x^2} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}}\right) + C \] #### 3. 求解 \(\int (1 + \sin x)(1 + \cos x) dx\) **解析**： 这个问题可以通过分配律展开来解决： \[ \int (1 + \sin x)(1 + \cos x) dx = \int (1 + \cos x + \sin x + \sin x \cos x) dx \] 根据三角恒等式 \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\)，进一步简化积分表达式为 \[ \int (1 + \cos x + \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x) dx \] 分别求出每一项的积分，得到 \[ \int (1 + \cos x + \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x) dx = x + \sin x - \cos x - \frac{1}{4} \cos 2x + C \] #### 4. 求解 \(\int \frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}} dx\) **解析**： 对于这个积分问题，可以使用代换法来简化积分。令 \(u = \sqrt{x^2-1}\)，则 \(du = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx\)，因此原式变为 \[ \int \frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \int \left(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right) dx \] 由于 \(du = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx\)，因此第一部分可以直接积分得到 \(\ln|u| + C_1\)。第二部分需要额外的处理，可以通过代换 \(x = \sec t\) 来解决： \[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \int \frac{\sec t \tan t}{\tan t} dt = \int \sec t dt = \ln|\sec t + \tan t| + C_2 \] 综合两部分的结果，得到最终答案 \[ \int \frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \ln|\sqrt{x^2-1}| + \ln|\sec t + \tan t| + C \] 其中 \(t = \sec^{-1} x\)。 以上是几个典型的不定积分习题示例，通过这些例子的学习可以帮助我们更好地掌握不定积分的基本方法和技术。在备考过程中，建议多做一些类似的练习题，以提高解题速度和准确率。