根据给定的信息，我们可以从标题、描述以及部分试题内容中提取出与控制理论相关的知识点。以下是对这些知识点的详细解析：
### 控制理论基础
#### 1. 系统描述
- **状态空间模型**：状态空间模型是控制系统分析与设计中最常用的数学模型之一。一般形式为：
\[
\dot{X}=AX+Bu\\
y=CX
\]
其中，\(X\) 是状态向量，\(A\)、\(B\) 和 \(C\) 分别是系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。
- **能控性和能观测性**：系统的能控性和能观测性是衡量系统内部状态是否可以通过输入或输出来影响或确定的重要性质。题目中的条件“\(cA^ib=0 (i=0,1,\ldots,n-2)\), \(cA^{n-1}b=k \neq 0\)”，意味着该系统是完全能控的，其中 \(n=\text{dim}(A)\) 表示系统的阶数。
#### 2. 系统响应与稳定性分析
- **传递函数**：传递函数是系统频率域的一种表示方法，用于描述系统输入与输出之间的关系。例如：
\[
G(s)=\frac{10(1-s)}{(0.5s+1)(Ts+1)}
\]
这里给出了一个特定系统的传递函数，并且需要分析其在不同参数下的性能。
- **时域响应**：题目中给出的时域响应函数 \(g(t)=K(1+e^{-t/2}-2e^{-t/4})\) 描述了系统在特定输入下的输出变化情况。通过这个表达式可以进一步分析系统的稳定性和响应特性。
#### 3. 控制器设计
- **极点配置**：极点配置是控制理论中的一项关键技术，用于通过改变控制器参数来调整系统的动态行为。题目中通过矩阵的形式给出了一个具体的系统，并要求配置系统的极点，如：
\[
\dot{X}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -5
\end{bmatrix}X+
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}u
\]
- **线性二次型最优控制（LQR）**：LQR 是一种基于优化问题的控制策略，旨在找到使成本函数最小化的控制信号。题目中给出了一组状态方程和成本函数，要求求解最优控制律 \(K\)，例如：
\[
J=\int_{0}^{\infty}[x_2^2(t)+\frac{1}{4}u^2(t)]dt
\]
通过求解最优控制问题，可以得到最优控制律 \(K\)。
#### 4. 数值计算与仿真
- **离散时间系统**：离散时间系统是控制理论中常见的系统类型之一，它的时间变量是离散的。题目中给出了一个离散时间系统的状态方程，例如：
\[
x(k+1)=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 2a & 0
\end{bmatrix}x(k)
\]
这种形式的状态方程常用于数字计算机中进行数值计算。
- **系统仿真**：通过对给定系统的数学模型进行数值模拟，可以预测系统的动态行为。题目中的多个问题都涉及到对系统的建模和仿真，例如计算系统的输出响应、分析稳定性等。
从给定的试题中我们可以总结出控制理论中的关键概念和技术，包括状态空间模型、能控性和能观测性、传递函数、极点配置、线性二次型最优控制以及离散时间系统的仿真等。这些知识点不仅构成了控制理论的基础，也是实际工程应用中的核心内容。
