高等代数北大版教（学）案_第5章二次型.doc

高等代数北大版教（学）案_第5章二次型.doc 本资源是高等代数北大版教案的第五章，主要讲述二次型的矩阵表示、线性替换和矩阵的合同。通过本章的学习，学生可以掌握二次型的定义、矩阵表示、线性替换和矩阵的合同。 §1 二次型的矩阵表示 二次型是指在数域上的一个二次齐次多项式，例如，在有理数域上的一个3元二次型。二次型可以用矩阵表示出来，矩阵称为二次型的矩阵。二次型的矩阵都是对称矩阵。 §2 标准形 标准形是指二次型经过非退化的线性替换变为平方和的形式。任何一个二次型都可以经过非退化的线性替换变为标准形。标准形的矩阵是对角矩阵。 §3 唯一性 二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关。但在复数域和实数域的情形下，二次型的标准形具有唯一性。 二次型的秩是指二次型的矩阵的秩。对于复数域和实数域的情形，二次型的秩是唯一的。 本章的学习目的是让学生掌握二次型的定义、矩阵表示、线性替换和矩阵的合同，以及标准形的概念和唯一性。通过本章的学习，学生可以更好地理解高等代数的基本概念和方法。 关键词：二次型、矩阵表示、线性替换、矩阵的合同、标准形、唯一性。 在高等代数中，二次型是非常重要的一部分，本章的学习可以帮助学生更好地理解二次型的概念和应用。 二次型的矩阵表示是指将二次型用矩阵表示出来，这可以帮助学生更好地理解二次型的结构和性质。 线性替换是指将二次型经过非退化的线性替换变为标准形的过程。这可以帮助学生更好地理解二次型的变换和标准形的概念。 矩阵的合同是指两个矩阵之间的关系，两个矩阵是合同的，当且仅当它们可以通过非退化的线性替换变换到对方。这可以帮助学生更好地理解矩阵之间的关系和合同的概念。 标准形是指二次型经过非退化的线性替换变为平方和的形式。这可以帮助学生更好地理解二次型的标准形和唯一性的概念。 唯一性是指二次型的标准形是否唯一的。在复数域和实数域的情形下，二次型的标准形具有唯一性。这可以帮助学生更好地理解二次型的唯一性和应用。