解非定常不可压缩N_S方程的迭代压力Poisson方程

### 解非定常不可压缩N-S方程的迭代压力Poisson方程 #### 摘要 本文提出了一种迭代压力Poisson方程方法来求解非定常不可压缩Navier-Stokes（N-S）方程。该方法与传统的压力Poisson方程方法不同之处在于它使用了压力的增量——即两个连续迭代步骤之间的压力差（\(p^{n+1} - p^n\)），而不是直接使用当前时间步的压力\(p^{n+1}\)作为未知量。这种方法结合了一个四阶精确的交错网格紧凑差分方案，并用于模拟Reynolds数为5000和10000下的驱动腔内流。 #### 关键词 N-S方程, 压力Poisson方程法, 不可压缩性, 紧凑差分格式 #### 引言 数值求解不可压缩流体流动问题通常涉及两种途径：一种是直接求解原始变量（如速度和压力）的方程；另一种则是使用涡量-流函数方程作为控制方程。直接求解原始变量的N-S方程面临着速度向量在每一时刻必须满足不可压缩性连续方程（即零散度约束条件）这一主要难题。使用涡量-流函数方程虽然能够自动满足连续方程，但在处理复杂的边界条件以及应用到三维问题和包含自由表面的情况时会遇到挑战。 为了解决速度场必须满足零散度约束条件的问题，已提出了多种方法，包括人工压缩法、压力Poisson方程法、投影法和零散度格式法等。本文重点关注迭代压力Poisson方程方法，并探讨其相对于其他方法的优势。 ### 方法描述 #### 人工压缩法 对于非定常问题，人工压缩法可以表示为： 1. 在每个时间步迭代计算速度场\(v^{n+1}\)（通过动量方程，此时压力取上一步迭代的值或\(p^{n}\)）。 2. 计算压力修正项\(\Delta p = \lambda \nabla^2 v^{n+1}\)，其中\(\lambda > 0\)是需要在计算中调整的小参数。 #### 传统压力Poisson方程法 该方法通过对N-S方程中的动量方程取散度并忽略下一时间层的速度散度，得到关于压力的Poisson方程，以此方程替代连续方程。 #### 迭代压力Poisson方程法 本文提出的方法改进了传统压力Poisson方程法，具体做法是在Poisson方程中未知量改为了压力的增量。该方法的主要优点包括： 1. **确保离散的连续方程满足**：通过迭代计算压力增量，可以确保在达到所需精度的同时，离散的连续方程得以满足。 2. **简化Poisson方程的求解**：在二维四阶紧致格式的情况下，可以采用简单的五点中心差分格式来近似拉普拉斯算子，而非使用更复杂的高精度算子。 3. **提高收敛速度**：相较于传统的Chorin方法，迭代压力Poisson方程法具有更快的收敛速度。 4. **适用于三维问题**：对于三维问题，拉普拉斯算子可以采用七点中心差分格式。 5. **易于推广**：此方法不仅适用于二维和三维问题，还可以扩展到其他类型的流动问题。 ### 结论 迭代压力Poisson方程法是一种有效的求解非定常不可压缩N-S方程的方法。通过使用压力增量作为未知量，该方法不仅能够确保连续方程的精确满足，而且简化了Poisson方程的求解过程。此外，该方法还具有较快的收敛速度，并且可以直接应用于三维问题。这些特点使得迭代压力Poisson方程法成为处理复杂不可压缩流体流动问题的一种有力工具。未来的研究可以进一步探索该方法在不同流动情况下的应用范围和局限性，以及与其他数值方法的结合使用。 迭代压力Poisson方程方法为求解非定常不可压缩N-S方程提供了一种高效且准确的途径，具有重要的理论意义和实用价值。