ACM 计算几何 向量的点积与叉积

在ACM计算几何中，向量的点积和叉积是两种基本的向量运算，它们在几何、物理和工程领域都有广泛的应用。点积主要用来确定两个向量之间的角度和判断它们之间的相对方向，而叉积则可以生成一个新的向量，这个新向量与原来的两个向量垂直，并且可以用来确定向量的旋转方向和计算面积。 向量的点积（内积）定义为两个向量的对应分量乘积之和，然后除以两个向量的模长的乘积。如果我们将二维向量u(ux, uy)和v(vx, vy)表示为两个点的坐标差，那么它们的点积可以表示为u * v = (ux * vx + uy * vy)。通过点积公式，我们可以计算出u和v之间的夹角α的余弦值，即cosα = u * v / (|u||v|)。若点积等于零，说明两向量垂直；若点积为正，则夹角为锐角；若为负，则夹角为钝角。点积的性质可以推广到三维空间，只需将向量的维度扩展为三个分量即可。 向量的叉积（外积）则生成一个与原向量垂直的新向量。对于三维向量u(ux, uy, uz)和v(vx, vy, vz)，其叉积结果是一个新的向量w，满足w . u = 0和w . v = 0，即w与u和v都垂直。通过解决线性方程组，我们可以找到w的一般解形式。向量u和v的叉积可以写作u x v = (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)，这个新向量w的每个分量都是原向量分量的组合，且满足三向量构成右手系的规则。例如，i x j = k，j x k = i，k x i = j，这表明叉积具有反对称性，即v x u = - (u x v)。 点积和叉积在计算几何中有多种应用。例如，在碰撞检测中，可以通过点积判断两个物体是否平行或垂直；在计算面积和体积时，叉积可以帮助我们确定三角形或平行四边形的面积，以及立体的体积。在寻找最短路径或最优解的问题中，这些向量运算也起着至关重要的作用。 在ACM竞赛中，了解并熟练运用向量的点积和叉积是解决几何问题的关键。掌握这些基础知识能够帮助参赛者更快地理解问题，设计出高效的算法，并编写出正确的代码来解决问题。因此，深入理解和灵活运用这两个概念对于提升ACM竞赛的表现至关重要。