高等数学课件-第十一章、第二节：正项级数的审敛法.ppt

在高等数学中，正项级数的审敛法是研究级数收敛性的重要工具，尤其在处理无穷级数的问题时显得至关重要。正项级数是指每一项都是非负的级数，例如调和级数、P-级数等。本节主要介绍了两个核心的审敛法：比较审敛法和比值审敛法。 正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。这意味着如果级数的部分和序列不随项数增加而无限增长，那么这个级数就是收敛的。反之，如果部分和序列没有上界，级数就是发散的。这一结论被称为正项级数定理1。 比较审敛法是确定正项级数收敛性的一种方法。定理2（比较审敛法）表明，如果存在两个正项级数，其中一个是另一部分项的放大或缩小，那么如果较大项的级数收敛，较小项的级数也会收敛；相反，如果较小项的级数发散，那么较大项的级数也会发散。推论进一步指出，即使级数项之间的关系不是简单的放大或缩小，只要满足一定的比例关系，该结论依然有效。 比较审敛法还有极限形式的表述，即定理3。如果两个正项级数的一般项之比的极限存在，并且不大于1，那么这两个级数有相同的收敛性。如果比值的极限大于1，则原级数可能发散，但这并不意味着它一定会发散。这一点在实际应用中需要特别注意。 比值审敛法，又称达朗贝尔判别法，是另一种评估正项级数收敛性的方法。如果级数的一般项与其前一项之比的极限为常数λ，那么： - 当λ < 1时，级数收敛； - 当λ > 1或λ = ∞时，级数发散； - 当λ = 1时，比值审敛法无法判断级数的收敛性。 比值审敛法的优点在于不需要寻找比较对象，可以直接利用级数自身的一般项进行判断，简化了计算过程。 在解决具体问题时，如判定调和级数、P-级数的敛散性，或者证明特定级数的收敛性，可以通过比较审敛法或比值审敛法来实现。例如，调和级数的判定通常会与几何级数进行比较，P-级数则通过比较其与1/p的级数来分析。在选择比较对象时，等比级数、P-级数和调和级数是最常见的参考级数。 正项级数的审敛法提供了一套系统的方法来判断无穷级数的收敛性，是高等数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。在学习和应用这些方法时，需要灵活选择合适的比较对象，同时理解并熟练掌握比值审敛法，以便对各种复杂级数进行有效的分析。