【老生谈算法】控制系统稳定性分析的Matlab实现.doc

在控制系统稳定性分析中，MATLAB 是一个强大的工具，能够帮助我们通过不同的方法来评估和验证系统的稳定性。本文将介绍三种常用的方法，即特征根判别法、根轨迹法和频率法，并结合MATLAB代码进行具体阐述。 1. **特征根判别法**： 特征根判别法是基于系统的特征方程，通过计算特征根来判断系统的稳定性。例如，给定特征方程 `s5 + s4 + 2s3 + 2s2 + 3s + 5 = 0`，在MATLAB中，我们可以使用`roots`函数求解特征根。例如： ```matlab p = [1 1 2 2 3 5]; roots(p) ``` 如果所有特征根都在复平面上的左半平面，那么系统是稳定的；反之，如果特征根位于右半平面或在虚轴上，则系统不稳定。 2. **根轨迹法**： 根轨迹法是分析闭环控制系统稳定性的一种图形方法。它涉及到开环传递函数和闭环系统极点的轨迹。例如，对于给定的开环传递函数 `G(s) = K/(s(0.25s+1)(s+0.5))`，可以使用`feedback`和`pzmap`函数来绘制闭环系统的零极点图和获取极点数据： ```matlab clear n1 = [0.25 1]; d1 = [0.5 1 0]; s1 = tf(n1, d1); sys = feedback(s1, 1); P = sys.den{1}; p = roots(P); pzmap(sys) [p, z] = pzmap(sys) ``` 通过观察零极点分布，可以判断闭环系统的稳定性。如果所有闭环极点都在S平面上的左半平面，系统就是稳定的。 3. **频率法**： 频率法主要包含Bode图法和Nyquist图法，用于分析系统的频率响应特性。 - **Bode图法**： Bode图提供了开环传递函数的幅值和相位与频率的关系。例如，对于开环传递函数 `G(s) = 75 * (0.2s^2 + s + 100) / (s^3 + 16s^2 + 100s)`，可以绘制Bode图并计算稳定性边际： ```matlab num = 75 * [0 0 0.2 1]; den = conv([1 0], [1 16 100]); sys = tf(num, den); [Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys) margin(sys) ``` 幅度裕度`Gm`和相位裕度`Pm`若均大于0，则系统稳定。同时，可以绘制阶跃响应曲线验证稳定性： ```matlab t = 0:0.01:30; step(sys, t) ``` - **Nyquist图法**： Nyquist图展示了开环传递函数的幅值和相位特性。例如，对于传递函数 `G(s) = 10000 / (s + 5)(s + 100)`，绘制Nyquist图并验证稳定性： ```matlab num = [10000]; den = [1 5 100 0]; GH = tf(num, den); nyquist(GH) ``` 如果Nyquist图不穿过(-1, j0)点的左半平面，且系统没有顺时针包围(-1, j0)的闭环极点，那么系统是稳定的。同样，绘制阶跃响应曲线进行验证： ```matlab t = 0:0.01:0.6; step(sys, t) ``` 以上就是MATLAB在控制系统稳定性分析中的应用，包括特征根判别、根轨迹法和频率法。通过这些方法，工程师可以有效地评估和优化控制系统的性能，确保其在各种工况下保持稳定。