12-1 常数项级数的概念和性质.ppt

无穷级数是数学中的一个重要概念，特别是在分析学和微积分中。第十二章的主题是无穷级数，第一节主要探讨了常数项级数的概念和性质。常数项级数是由常数项序列相加而成的无限序列，比如1 + 1/2 + 1/3 + ...。 我们来理解级数的定义。级数的部分和是指将级数的前n项相加形成的数列，记作\( S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n \)。如果当n趋向于无穷大时，这个部分和数列有极限S，即\( \lim_{n \to \infty} S_n = S \)，那么我们就说这个无穷级数收敛，而S称为级数的和。相反，如果这个极限不存在，我们称级数发散。 级数收敛的一个重要条件是其一般项\( u_n \)随着n的增大趋向于零。例如，等比级数\( \sum_{n=0}^{\infty} a q^n \)（其中\( a \neq 0 \)且\( |q| < 1 \)）是收敛的，因为当n增大时，\( q^n \)趋近于零。但如果\( |q| \geq 1 \)，级数发散。 调和级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)是一个典型的例子，它展示了即使一般项趋近于零，级数也可能发散。事实上，调和级数是发散的，这可以通过反证法来证明，假设它收敛，其和为s，然后推导出矛盾。 收敛级数具有几个重要的性质。如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} u_n \)收敛，那么它的和不会因添加或删除有限个项而改变。级数的加法和乘法性质也成立，即如果\( \sum_{n=1}^{\infty} u_n \)和\( \sum_{n=1}^{\infty} v_n \)都收敛，那么它们的逐项和\( \sum_{n=1}^{\infty} (u_n \pm v_n) \)也收敛，其和等于\( u_n \)和\( v_n \)的和或差。 另外，如果在级数的任意项前加上或去掉括号，只要保持项的相对顺序不变，得到的新级数仍会收敛，且和不变。然而，需要注意的是，对收敛级数进行去括号操作可能得到一个发散的级数，因此去括号不是保持收敛性的保不变操作。 此外，级数的必要条件是，如果级数收敛，那么其一般项\( u_n \)必须趋向于零。但这个条件并不充分，也就是说，即使\( u_n \)趋向于零，级数也不一定收敛，例如调和级数就是这种情况。 常数项级数的概念和性质是数学分析的基础，理解和掌握这些知识对于解决涉及无穷序列的问题至关重要，例如在求解某些物理问题、工程问题或在数学分析的其他领域。通过学习这些概念，我们可以判断级数的敛散性，并了解如何处理级数的各种操作。