概率论与数理统计 课后习题答案 复旦版

根据给定文件的信息，我们可以提炼出以下几个主要知识点： ### 1. 概率论基本概念 #### 事件的表示与关系 - **事件**: 在概率论中，事件是指实验结果的集合。例如，投掷一枚骰子，“出现的点数为奇数”就是一个事件。 - **事件的关系**: - **包含**: 如果所有事件A的发生都会导致事件B的发生，则称事件A包含于事件B（记作A⊂B）。 - **并集**: A∪B表示事件A或B或两者同时发生的事件集合。 - **交集**: A∩B或AB表示事件A和事件B同时发生的事件集合。 - **互斥**: 如果两个事件A和B不可能同时发生，则称这两个事件互斥。 #### 关系式的概率意义 - 题目中的例子：\(A = ABC\) 表示事件A发生当且仅当事件B和C同时发生。 ### 2. 事件的组合 #### 事件的逻辑表达 - **至少有一个事件发生**: 可以通过各个事件的并集表示，即\(A \cup B \cup C\)。 - **恰好有两个事件发生**: 需要计算所有可能的两个事件同时发生的组合，并排除三个事件都发生的可能性。 - **所有事件都不发生**: 计算所有事件的补集再求交集，即\((A^c \cap B^c \cap C^c)\)。 ### 3. 概率的基本公式 #### 组合概率计算 - **组合数**: \(C_n^k\) 表示从n个不同元素中选取k个元素的方法总数。 - **等式证明**: - \(\sum_{k=0}^{r} (-1)^k C_a^k C_{b-k}^{r-k}\): - 此公式可以通过组合原理来理解，它实际上是计算两个集合交集的方法总数。 ### 4. 具体问题解答 #### 习题解答举例 - **题目5**: 袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 - 解答思路：首先确定总的取球方式，然后计算符合条件的取球方式数量。 - 总的取球方式为：\(C_{11}^3\) - 符合条件的取球方式数量为：\(C_5^1 \times C_6^1 \times C_5^1\) - 最终概率为：\(\frac{C_5^1 \times C_6^1 \times C_5^1}{C_{11}^3}\) #### 更多习题分析 - **题目8**: 在一个装有n只白球，n只黑球，n只红球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、红球分别有多少只的概率。 - 解答思路：利用组合数计算特定情况下取球的数量。 - 总的取球方式为：\(C_{3n}^m\) - 特定情况下取球的方式为：\(C_n^{m_1} \times C_n^{m_2} \times C_n^{m_3}\)，其中\(m_1 + m_2 + m_3 = m\)。 - 最终概率为：\(\frac{C_n^{m_1} \times C_n^{m_2} \times C_n^{m_3}}{C_{3n}^m}\) ### 5. 应用实例 #### 实例解析 - **题目13**: 从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件发生的概率。 - **没有成对的鞋子**: - 解答思路：从n双鞋子中选择2r只鞋使得每双鞋只取一只。 - 总的选择方式为：\(C_{2n}^{2r}\) - 不成对的选择方式为：\(C_n^r \times 2^r\)。 - 最终概率为：\(\frac{C_n^r \times 2^r}{C_{2n}^{2r}}\) - **只有一对鞋子**: - 解答思路：从n双鞋子中选择一对鞋，并从剩余的鞋子中选择(2r-2)只鞋，确保不成对。 - 总的选择方式为：\(C_{2n}^{2r}\) - 选择一对鞋的方式为：\(C_n^1\) - 选择不成对的(2r-2)只鞋的方式为：\(C_{n-1}^{r-1} \times 2^{r-1}\) - 最终概率为：\(\frac{C_n^1 \times C_{n-1}^{r-1} \times 2^{r-1}}{C_{2n}^{2r}}\) 以上内容涵盖了概率论与数理统计的基础概念以及具体的习题解答方法，有助于读者深入理解和掌握这一学科的关键知识点。