**Jacobi 迭代法**是一种在数值分析中用于求解大型线性方程组的迭代方法，由德国数学家卡尔·威廉·雅各比（Carl Wilhelm Jacobi）提出。这种方法特别适用于处理对角占优的矩阵，即矩阵中对角线元素的绝对值大于其相邻元素的绝对值。它在解决大规模问题时，由于其并行计算的潜力，成为了一种实用的工具。
**一、实验目的**
1. **熟悉 Matlab 基本操作**：Matlab 是一个强大的数值计算平台，提供友好的图形用户界面和丰富的数学函数库，用于进行矩阵运算、数据可视化和算法开发。
2. **掌握 Matlab 基本代码编程**：Matlab 采用面向数组的编程风格，使得处理矩阵和向量的操作变得简洁高效。
3. **理解 Jacobi 迭代法原理并实现**：通过编程实践，深入理解 Jacobi 迭代法的迭代过程和收敛特性。
**二、实验环境**
硬件环境：个人计算机（PC 机）
软件环境：Matlab —— 一种广泛用于科学计算和工程应用的交互式环境。
**三、算法原理**
Jacobi 迭代法基于以下假设，给定线性方程组：
\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]
其中，\( A \) 是 \( n \times n \) 矩阵，\( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{b} \) 分别是 \( n \) 维列向量。对于对角占优的矩阵 \( A \)，可以将 \( A \) 分解为：
\[ A = D - L - U \]
其中 \( D \) 是对角元素组成的矩阵，\( L \) 是下三角部分，\( U \) 是上三角部分。然后迭代公式可以写为：
\[ \mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1}(\mathbf{b} - (L + U)\mathbf{x}^{(k)}) \]
在实际计算中，为了避免直接计算矩阵的逆，可以使用以下迭代形式：
\[ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}(b_i - \sum_{j\neq i}a_{ij}x_j^{(k)}) \]
这里，\( a_{ij} \) 表示矩阵 \( A \) 中的元素，\( x_i^{(k)} \) 是第 \( k \) 次迭代得到的解的第 \( i \) 个分量。
**四、实验内容**
实验代码通常以 `.m` 脚本文件的形式编写，利用 Matlab 提供的循环结构和矩阵运算功能，实现 Jacobi 迭代法的计算。迭代过程会持续到解达到一定的精度或达到预设的最大迭代次数。
**五、实验总结**
Jacobi 迭代法的主要优点包括：
1. **计算简单**：每次迭代仅涉及矩阵和向量的乘法，操作相对简便。
2. **并行计算**：由于每个分量独立更新，易于实现并行化，提升计算效率。
然而，也存在以下缺点：
1. **收敛速度**：相比于其他迭代方法，如 Gauss-Seidel 方法，Jacobi 迭代法的收敛速度可能较慢。
2. **存储需求**：需要存储每次迭代的解向量，对于大规模问题，内存消耗可能较大。
3. **适用性**：只适用于对角占优的矩阵，对于非对角占优或者奇异矩阵，可能不收敛或收敛速度极慢。
通过本次实验，不仅巩固了 Matlab 编程技能，还深化了对 Jacobi 迭代法的理解，认识到在实际工程问题中，通常会使用 Jacobi 迭代法的改进版本，例如 Gauß-Seidel 或SOR（Successive Over-Relaxation）方法，以提高收敛性能和计算效率。
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