### D数项级数及审敛法同济大学高等数学知识点总结
#### 一、正项级数及其审敛法
##### 定义与性质
- **正项级数**：形如$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$的无穷级数，其中每一项$u_n \geq 0$。
- **性质**：若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则它的部分和数列$\{S_n\}$（其中$S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$）是有界的。
##### 审敛法
- **定理1**：正项级数收敛当且仅当它的部分和数列$\{S_n\}$有界。
- **比较审敛法**：
- 若存在正项级数$\sum a_n$和$\sum b_n$，使得对所有的$n$有$a_n \leq b_n$，并且$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$也收敛。
- 若存在正项级数$\sum a_n$和$\sum b_n$，使得对所有的$n$有$a_n \leq b_n$，并且$\sum a_n$发散，则$\sum b_n$也发散。
#### 二、重要例子与应用
##### 例子分析
- **p级数**：形如$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$的级数，其中$p > 0$。
- 当$p > 1$时，p级数收敛。
- 当$p \leq 1$时，p级数发散。
- **调和级数**：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，这是一个典型的发散级数。
- **其他例子**：
- 对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$（$\alpha > 0$），通过比较审敛法可以判断其敛散性。
##### 比较审敛法的极限形式
- **定理3**：设有两个正项级数$\sum a_n$和$\sum b_n$，如果$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = l$，那么：
- 如果$0 < l < \infty$，则两个级数同时收敛或同时发散；
- 如果$l = 0$，且$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$也收敛；
- 如果$l = \infty$，且$\sum a_n$发散，则$\sum b_n$也发散。
#### 三、比值审敛法与根值审敛法
- **比值审敛法(D’alembert判别法)**：设有正项级数$\sum u_n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \rho$，则：
- 如果$\rho < 1$，级数收敛；
- 如果$\rho > 1$或$\rho = \infty$，级数发散。
- **根值审敛法(Cauchy判别法)**：设有正项级数$\sum u_n$，如果$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} = \lambda$，则：
- 如果$\lambda < 1$，级数收敛；
- 如果$\lambda > 1$，级数发散。
#### 四、交错级数及其审敛法
- **交错级数**：形如$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$的无穷级数，其中$u_n > 0$。
- **Leibnitz判别法**：若交错级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$满足：
- $u_n$单调递减；
- $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，
则该级数收敛。
#### 五、绝对收敛与条件收敛
- **绝对收敛**：若级数$\sum |u_n|$收敛，则称原级数$\sum u_n$绝对收敛。
- **条件收敛**：若级数$\sum u_n$收敛，但$\sum |u_n|$发散，则称$\sum u_n$条件收敛。
- **性质**：
- 绝对收敛级数一定收敛。
- 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和。
- 绝对收敛级数的乘法仍为绝对收敛。
### 总结
通过对以上内容的学习，我们可以了解到不同类型的无穷级数以及它们的审敛方法。这些方法不仅包括了直接的方法（如比较审敛法），还包括了一些更为高级的方法（如比值审敛法、根值审敛法）。此外，还介绍了交错级数和绝对收敛的概念，这些都是解决实际问题中常见的一类无穷级数问题的重要工具。通过这些知识点的学习，能够更好地理解和解决与无穷级数相关的数学问题。
