形式语言与自动机习题参考答案-第二三章

### 形式语言与自动机习题参考答案解析 #### 第二章 ##### 题目4 **题目描述：** 找出一个右线性文法，该文法能构成长度为1至3个字符且以字母为首的字符串。 **解答：** - **文法** \( G = \{N, T, P, S\} \) - 终结符号集 \( T = \{x, y\} \) 其中 \( x \in \{ \text{所有字母} \} \), \( y \in \{ \text{所有的字符} \} \) - 非终结符号集 \( N = \{S, A, B\} \) - 开始符号 \( S \) - 产生式集 \( P \) 如下: - \( S \rightarrow xS \) - \( S \rightarrow xA \) - \( A \rightarrow yA \) - \( A \rightarrow yB \) - \( B \rightarrow y \) **解析：** 这个文法的设计目的是为了生成长度为1至3个字符且以字母为首的字符串。具体来说: - \( S \rightarrow xS \) 表示可以生成以一个字母开头的任意长度的字符串，但这里只需要长度为1至3个字符。 - \( S \rightarrow xA \) 用于生成以一个字母开头，后跟一个字符的字符串。 - \( A \rightarrow yA \) 和 \( A \rightarrow yB \) 使得我们可以添加额外的字符到字符串中。 - \( B \rightarrow y \) 用于结束字符串的生成。 ##### 题目6 **题目描述：** 构造一个上下文无关文法，能够产生所有含有相同个数0和1的字符串。 **解答：** - **文法** \( G = \{N, T, P, S\} \) - 终结符号集 \( T = \{0, 1\} \) - 非终结符号集 \( N = \{S\} \) - 开始符号 \( S \) - 产生式集 \( P \) 如下: - \( S \rightarrow \varepsilon \) - \( S \rightarrow S0S1S \) - \( S \rightarrow S1S0S \) **解析：** 这个文法通过以下方式确保生成的字符串中0和1的数量相等: - \( S \rightarrow \varepsilon \) 作为特殊情况处理，当字符串为空时，认为0和1的数量都为0。 - \( S \rightarrow S0S1S \) 和 \( S \rightarrow S1S0S \) 确保每次增加一个0和一个1时，总是同时进行的。这意味着，无论字符串如何扩展，0和1的数量都将保持一致。 ##### 题目7 **题目描述：** 找出由下列各组生成式产生的语言（起始符为S）。 **解答：** - 对于每个问题，我们分析给出的产生式，并确定它们生成的语言。 - \( S \rightarrow SaS \), \( S \rightarrow b \) - \( S \rightarrow aSb \), \( S \rightarrow c \) - \( S \rightarrow aS \), \( S \rightarrow aE \), \( E \rightarrow aS \) **解析：** 1. 语言 \( L = \{ b(ab)^n | n \geq 0 \} \) 或者 \( L = \{ (ba)^nb | n \geq 0 \} \)。 - 这个文法生成的是所有以 \( b \) 结尾，中间包含任意数量 \( ab \) 或者 \( ba \) 的字符串。 2. 语言 \( L = \{ a^nc^n | n \geq 0 \} \)。 - 每次生成一个 \( a \) 之后必须跟随一个 \( b \)，直到生成 \( c \) 为止。 3. 语言 \( L = \{ a^{2n+1} | n \geq 0 \} \)。 - 这个文法只允许生成奇数个 \( a \)。 ##### 题目9 **题目描述：** 证明给定文法 \( G \) 产生的语言 \( L(G) \) 为特定集合。 **解答：** - **文法** \( G \) 包括以下三个规则： - \( S \rightarrow aAb \) - \( aA \rightarrow aaAb \) - \( A \rightarrow \varepsilon \) - 要证明的集合 \( L = \{ \} \) 即空集。 **解析：** 证明过程中，我们利用了文法规则来推导出 \( L(G) \) 实际上是空集。 - 首先从 \( S \) 开始，使用 \( S \rightarrow aAb \) 得到 \( aAb \)。 - 然后使用 \( aA \rightarrow aaAb \) 多次，直到 \( A \) 出现为止。 - 最后使用 \( A \rightarrow \varepsilon \) 将 \( A \) 替换掉，从而证明了没有有效的字符串可以由这个文法生成。 #### 第三章 ##### 题目4 **题目描述：** 对于给定的文法，找出其正则式。 **解答：** - **文法** \( G = (\{S, A, B, C\}, \{a, b, c, d\}, P, S) \) - 产生式集 \( P \) 如下: - \( S \rightarrow baA \) - \( S \rightarrow B \) - \( A \rightarrow aS \) - \( A \rightarrow bB \) - \( B \rightarrow bB \) - \( B \rightarrow bC \) - \( C \rightarrow cB \) - \( C \rightarrow d \) **解析：** 1. 通过分析给定的文法结构，可以得出以下结论: - \( S = baA + B \) - \( A = aS + bB \) - \( B = bB + bC \) - \( C = cB + d \) 2. 逐步消去非终结符号，最终得到的正则式为 \( (baa)*(bab+\varepsilon)(bc)*(b+bd) \)。 3. 对于第二个文法，经过类似的步骤，得到的正则式为 \( (acd+acab+a+ab+a+b*a) \)。 ##### 题目5 **题目描述：** 为下列正则集构造右线性文法。 **解答：** - 构造右线性文法的过程是将正则表达式转换为文法的形式。 - \( \{a, b\}^* \) - 右线性文法: \( G = (\{S\}, \{a, b\}, P, S) \) - \( P: S \rightarrow aS | bS | \varepsilon \) - 以 \( abb \) 结尾的所有由 \( a \) 和 \( b \) 组成的字符串 - 右线性文法: \( G = (\{S\}, \{a, b\}, P, S) \) - \( P: S \rightarrow aS | bS | abb \) - 以 \( b \) 为首后跟若干个 \( a \) 的字符串 - 右线性文法: \( G = (\{S, A\}, \{a, b\}, P, S) \) - \( P: S \rightarrow bA \) - \( A \rightarrow aA | \varepsilon \) - 含有两个相继 \( a \) 或两个相继 \( b \) 的所有由 \( a \) 和 \( b \) 组成的字符串 - 右线性文法: \( G = (\{S, A\}, \{a, b\}, P, S) \) - \( P: S \rightarrow aS | bS | aaA | bbA \) - \( A \rightarrow aA | bA | \varepsilon \) **解析：** 1. 对于第一个正则集，通过引入循环规则 \( S \rightarrow aS | bS \) 并允许空串 \( \varepsilon \)，确保可以生成任何由 \( a \) 和 \( b \) 组成的字符串。 2. 对于以 \( abb \) 结尾的字符串集合，除了基本的循环规则外，还加上了一个特殊的终止规则 \( abb \)。 3. 对于以 \( b \) 为首后跟若干个 \( a \) 的字符串集合，引入了一个非终结符号 \( A \) 来表示任意数量的 \( a \)。 4. 对于含有两个相继 \( a \) 或两个相继 \( b \) 的字符串集合，通过引入特殊规则 \( aaA \) 和 \( bbA \) 来实现这一需求。 ##### 题目7 **题目描述：** 构造右线性文法并找出对应的有限自动机。 **解答：** - 右线性文法: \( G = (\{S, A\}, \{a, b\}, P, S) \) - \( P: S \rightarrow aA \) - \( A \rightarrow bS | \varepsilon \) **解析：** - 这个文法可以生成形如 \( a(ba)^* \) 的字符串。 - 有限自动机的设计涉及到状态转换图的构建，但由于题目中并未提供具体的自动机状态转换图，无法详细解析。不过，一般情况下，构建有限自动机的过程涉及定义初始状态、接受状态以及状态间的转换规则。 通过以上题目解析，我们深入探讨了形式语言与自动机理论中的核心概念和方法，包括右线性文法的构造、上下文无关文法的应用以及正则表达式的转换等关键知识点。