堆排序pata.pdf

堆排序PTA（Problem-Solving Techniques and Algorithms）是一种经典的排序算法，它利用了堆这种数据结构的特性来进行排序。堆排序的基本思想是将待排序的数组构建成一个大顶堆或小顶堆，然后通过不断地移除堆顶元素并重新调整堆来完成排序。由于其较高的效率和较低的空间复杂度，堆排序在实际应用中得到了广泛的应用。 一、堆排序算法原理 堆排序算法的核心思想是利用堆这种数据结构来维护数组的有序性。堆是一种特殊的完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点的值（在大顶堆中）或者小于或等于其子节点的值（在小顶堆中）。堆排序的过程分为两个步骤：堆的构造和堆的排序。 ### 堆排序知识点详解 #### 一、堆排序算法原理及步骤 **堆排序**是一种高效的排序算法，它的核心思想在于使用堆这种特殊的数据结构来优化排序过程。堆是一种特殊的完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于（大顶堆）或小于或等于（小顶堆）其子节点的值。堆排序主要包括两个关键步骤：堆的构造与堆的排序。 1. **堆的构造** - **初始化**：将待排序的数组视为一个空的堆，数组的第一个元素作为堆的根节点。 - **下行调整**：从根节点开始，逐个向下调整每个节点，确保其满足堆的性质。具体操作是将当前节点与其子节点进行比较，如果当前节点的值小于其子节点的值，则将它们交换位置。这一过程一直持续到当前节点没有子节点或者其子节点都满足堆的性质为止。 - **重复上述过程**：直到所有节点都满足堆的性质，此时整个数组就构成一个大顶堆或小顶堆。 2. **堆的排序** - **去除根节点**：将堆顶元素（最大或最小元素）与最后一个元素交换位置，然后删除最后一个元素（此时为最大或最小元素），得到一个已排序的子数组。 - **缩小堆范围**：将剩余的子数组视为一个新的堆，并重复上述去除根节点和缩小堆范围的过程，直到整个数组都被排序。 #### 二、堆排序算法伪代码 以下是一个简化的堆排序算法伪代码： ```plaintext function heapSort(arr) n = length(arr) buildMaxHeap(arr) for i = n - 1 downto 1 swap(arr[i], arr[0]) maxHeapify(arr, 0, i) return arr function buildMaxHeap(arr) n = length(arr) for i = (n - 2) / 2 downto 0 maxHeapify(arr, i, n - 1) function maxHeapify(arr, i, j) left = 2*i + 1 right = 2*i + 2 largest = i while left <= j if arr[left] > arr[largest] largest = left if right <= j and arr[right] > arr[largest] largest = right if largest != i swap(arr[i], arr[largest]) i = largest left = 2*i + 1 right = 2*i + 2 ``` #### 三、堆排序算法实现 下面是一个简单的堆排序算法实现示例，使用Python语言编写： ```python def build_max_heap(arr): n = len(arr) for i in range((n - 2) // 2, -1, -1): max_heapify(arr, i) def max_heapify(arr, i): left = 2 * i + 1 right = 2 * i + 2 largest = i while left <= right: if arr[left] > arr[largest]: largest = left if right > largest and arr[right] > arr[largest]: largest = right if largest != i: arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i] i = largest left = 2 * i + 1 right = 2 * i + 2 def heap_sort(arr): n = len(arr) build_max_heap(arr) for i in range(n - 1, 0, -1): arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i] max_heapify(arr, 0, i - 1) # 测试代码 if __name__ == "__main__": arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5] heap_sort(arr) print(arr) # 输出排序后的数组 ``` #### 四、堆排序算法的优缺点 **优点**： 1. **时间复杂度低**：堆排序的平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(nlogn)，相比于冒泡排序和插入排序等算法有明显的优势。 2. **空间复杂度低**：堆排序的空间复杂度为O(1)，即除了输入数组之外，不需要额外的存储空间。 **缺点**： 1. **不稳定**：堆排序是一种不稳定的排序方法，也就是说，在排序过程中可能会改变相同元素的相对顺序。 2. **不适合链式存储**：堆排序通常在数组上进行操作，因此对于链式存储结构可能不太适用。 3. **实现复杂**：相比于其他简单的排序算法，堆排序的实现较为复杂。 堆排序是一种高效且实用的排序算法，尤其适用于大数据量的排序场景。理解其基本原理及其实现细节对于深入掌握排序算法具有重要意义。