### 数学建模中常用软件计算方法
#### 一、常用编程环境介绍
在数学建模竞赛中，选择合适的编程环境对于提高建模效率至关重要。常见的编程环境包括MATLAB、Mathematica、LINGO、Maple、Excel以及C语言等。
- **MATLAB软件平台**：MATLAB是一款强大的科学计算软件，广泛应用于数值分析、符号运算、数据可视化等多个领域。它支持图形用户界面设计和独立应用程序的开发，是数学建模中最为推荐使用的软件之一。
- **Mathematica软件平台**：同样是一款功能全面的软件，特别擅长于符号运算、数值分析和数据可视化等方面。
- **LINGO软件平台**：专注于优化问题的解决，能够高效处理线性和非线性规划等问题，在数学建模中也十分常用。
- **Maple软件平台**：与Mathematica类似，Maple也是一款强大的数学软件，适用于符号运算、数值分析等领域。
- **Excel软件平台**：虽然相比其他专业软件功能有限，但对于简单数据分析和图表制作来说，Excel是一个非常实用的工具。
- **C语言平台**：对于需要更高性能计算的应用场景，C语言提供了灵活且高效的编程方式，但学习曲线相对较陡峭。
#### 二、常用方法详解
在MATLAB中，可以使用以下几种常用方法进行数学建模：
- **数值分析方法**：包括插值与拟合、常（偏）微分方程数值解、非线性方程迭代解、优化理论与算法、数值积分与微分等内容。
- **插值与拟合**：多项式与样条插值用于数据点之间的平滑过渡，线性、非线性拟合则用于找到最佳曲线来描述数据集。
- **常（偏）微分方程数值解**：适用于模拟物理、工程等领域的问题。
- **非线性方程迭代解**：通过迭代算法求解复杂的非线性方程组。
- **优化理论与算法**：寻找目标函数的最大值或最小值。
- **数值积分与微分**：数值方法近似求解积分和微分问题。
- **数据的统计描述、方差分析、回归分析**：对数据进行统计分析，识别数据间的关系。
- **符号运算**：MATLAB不仅支持数值计算，还能进行符号运算，如求导、积分等。
- **数据结果的可视化**：通过静态或动态图形展示数据结果，提高分析的直观性。
#### 三、函数的调用与编程
- **函数的调用**：熟练掌握MATLAB的基本函数与工具箱的使用是进行数学建模的基础。
- **MATLAB平台下的编程**：了解如何编写MATLAB脚本和函数，实现更复杂的计算任务。
- **函数资源的积累**：利用书籍和网络资源（例如mathworks.com）收集更多有用的函数库和示例代码。
#### 四、具体函数的使用与关键问题
- **函数的拟合**
- **曲线拟合与插值**：尝试通过解析函数描述数据，例如多项式拟合或样条插值。
- **面临的问题**：确定最佳拟合的标准（如最小二乘法），选择合适的曲线类型（线性或非线性）。
**实例演示**：以多项式拟合为例，假设有一组数据`(x, y)`，可以通过`polyfit`函数找到最佳拟合多项式，再使用`polyval`函数绘制拟合曲线。例如：
```matlab
x = 0:0.1:2*pi;
y = sin(x);
plot(x, y, 'r+');
for i = 3:6
p = polyfit(x, y, i);
xx = 0:0.01:2*pi;
yy = polyval(p, xx);
hold on
plot(xx, yy)
end
legend('sin(x)', '3th', '4th', '5th', '6th');
```
- **非线性拟合**：对于更为复杂的情况，可能需要使用非线性拟合方法。例如，给定一个非线性模型`f(x) = A * exp(-B * x) + C`，可以通过MATLAB中的函数求解未知参数`A`、`B`和`C`。
**实例演示**：以飞机定位问题为例，通过定义函数`fun3`来表示飞机位置与观测角度之间的关系，并使用`lsqnonlin`函数求解最佳位置。具体实现如下：
```matlab
function f = fun3(x)
datax = [700 600 1600 200]; % 塔台x坐标
datay = [1400 400 200 1000]; % 塔台y坐标
theta = pi/180 * [-63.4349 45.0000 135.0000 824.6211];
sigma = pi/180 * [0.8 0.6 1.3 2.0];
f = 0;
for i = 1:3
f = f + ((atan2(x(2) - datay(i), x(1) - datax(i)) - theta(i)) / sigma(i))^2;
end
f = f + ((sqrt((x(1) - datax(4))^2 + (x(2) - datay(4))^2) - theta(4)) / sigma(4))^2;
```
**主程序**：
```matlab
a0 = [900 720];
a = lsqnonlin(@fun3, a0);
error = fun3(a);
```
**运行结果**：
```
a =
1000.28 800.8
error =
0.0106
```
- **插值函数**
- **一维插值函数**：`INTERP1`可用于一维数据插值。
- **二维插值函数**：`INTERP2`适用于二维数据插值。
**实例演示**：以一维线性插值为例：
```matlab
x = 0:10;
y = sin(x);
xi = 0:0.25:10;
yi = interp1(x, y, xi, 'linear');
plot(x, y, 'o', xi, yi)
```
以上介绍的这些方法和技术在数学建模竞赛中非常有用，能够帮助参赛者更好地理解和解决问题。
