北京大学数学丛书 矩阵计算的理论与方法.pdf

北京大学数学丛书中的《矩阵计算的理论与方法》是一本深入探讨矩阵计算理论与实际应用的学术专著。书中不仅对矩阵的基本理论进行了系统性的回顾和补充，还详细讲解了矩阵计算的核心方法、算法的快速实现方式以及相关的数学工具和定理。 书中对矩阵知识的复习和补充部分涵盖了矩阵的基础记号、定义、Schur分解和奇异值分解。Schur分解将任意复方阵转化为上三角矩阵和酉矩阵的乘积，是矩阵理论中非常重要的一个分解形式。奇异值分解则提供了一种将任意矩阵分解为特殊矩阵乘积的方法，这些特殊矩阵包括对角矩阵、左酉矩阵和右酉矩阵。这两种分解方法在信号处理、控制理论和其他工程领域中都有广泛的应用。 接着，书中深入探讨了向量范数和矩阵范数的概念。向量范数衡量的是向量的“大小”，而矩阵范数衡量的则是矩阵作为线性变换时对向量大小的影响。这些概念是理解矩阵性质及其在不同数学空间中作用的基础。在此基础上，书中进一步讨论了谱半径和矩阵序列的收敛性问题，谱半径指的是矩阵的特征值的最大模，是描述矩阵动态行为的关键参数。 书中还介绍了正交投影和子空间之间的距离计算方法。正交投影是将一个向量投影到子空间上的过程，而在几何空间中，子空间之间的距离则是衡量不同子空间接近程度的量度。这些概念在处理线性代数问题时具有基础性作用。 Perron-Frobenius定理作为非负矩阵理论的核心，阐述了非负矩阵具有的最大特征值对应的特征向量的性质，这一理论在应用数学和经济学中有着广泛的应用。紧随其后，Birkhoff定理说明了置换矩阵在双随机矩阵集合中的极端地位。接着，书中的几个重要定理部分，如Bauer-Fike定理、Hoffman-Wielandt定理以及Hermite和矩阵的极小极大定理，都揭示了矩阵特征值问题的内在性质和计算方法，为研究矩阵特征值问题提供了重要的理论基础。 在探讨矩阵计算的基础问题和来源时，书中通过膜的振动、弹性系统的振动、多元线性回归分析等实际问题，引入了矩阵计算的基本问题。特别是在分析病态问题和数值稳定性时，书中强调了矩阵计算问题中病态和良态的区分，以及算法数值稳定性的重要性。病态问题通常指小的输入变化引起大的输出变化，而数值稳定性是指算法在实际计算过程中对输入误差的敏感程度。这些是确保矩阵计算可靠性的关键因素。 书中还介绍了一系列矩阵计算的基本工具，例如Householder变换、Givens变换以及更详细的变换方法，这些变换方法是实现矩阵计算快速算法的基本工具，广泛应用于各种线性代数问题的求解。 在讨论线性方程组的直接解法时，书中详细介绍了条件数的概念，条件数是衡量线性方程组解的敏感程度的指标。此外，Gauss消去法、Cholesky分解等基础解法以及对称不定方程组和Vandermonde方程组的解法都得到充分的讨论。这些解法在数学和工程计算中发挥着重要的作用。 《矩阵计算的理论与方法》这本书系统地阐述了矩阵计算的核心理论和方法，涉及到的矩阵分解、范数、谱分析、稳定性分析以及计算工具和解法等内容，为读者提供了一套全面的矩阵计算知识体系。书中不仅包含了丰富的数学理论，还结合了实际应用问题，如振动分析、线性回归等，展现了矩阵计算在解决现实问题中的广泛应用。通过这些深入浅出的介绍，读者可以更好地理解和掌握矩阵计算的精妙之处。