Filsher线性分类器

**Fisher线性分类器**，也称为Fisher判别分析（FDA，Fisher's Discriminant Analysis），是一种经典的统计学方法，广泛应用于机器学习领域，尤其是数据预处理和特征选择阶段。该方法由Ronald Aylmer Fisher在1936年提出，旨在寻找能够最大化类别间差异同时最小化类别内差异的线性组合，从而实现数据的有效分类。 **基本原理**： Fisher线性分类器的目标是找到一个投影向量，使得不同类别的样本在新坐标系下的投影距离最大化，同时在同一类内的样本投影距离最小化。这个投影向量被称为Fisher得分。通过最大化类间散度（Between-Class Scatter）和最小化类内散度（Within-Class Scatter）的比值来确定这个最优的投影方向。 **计算过程**： 1. **计算均值**：对于每个类别，计算其样本的均值向量。 2. **计算类间矩阵**：考虑所有类别，计算类与类之间的均值向量的差异，形成类间散度矩阵（S_B）。 3. **计算类内矩阵**：对于每个类别，计算其内部样本相对于类别均值的平方和，然后取平均，得到类内散度矩阵（S_W）。 4. **求解Fisher得分**：找到一个线性变换向量w，使得w^T S_W w最小，同时w^T S_B w最大。这可以通过求解拉格朗日乘数问题解决，即解下面的优化问题： \[ \max_w \frac{w^T S_B w}{w^T S_W w} \] 5. **投影数据**：将原始数据集沿着找到的Fisher得分向量w进行投影，得到新的低维特征空间。 **优点**： - **降维**：Fisher线性分类器可以有效地减少数据维度，同时保持或提高分类性能。 - **线性**：算法简单且易于理解，计算复杂度相对较低。 - **分类性能**：在两类问题上表现优秀，尤其适用于类别分布明显的数据集。 **局限性**： - **假设前提**：Fisher线性分类器假设数据服从高斯分布，且各类别的协方差矩阵相等，这在实际应用中可能不成立。 - **对异常值敏感**：如果数据集中存在异常值，可能会严重影响Fisher得分的计算。 - **非线性问题**：对于非线性可分的数据，Fisher线性分类器可能无法达到理想分类效果，这时需要结合其他非线性方法如核Fisher判别分析（KFDA）。 **应用场景**： Fisher线性分类器常用于生物信息学、图像识别、文本分类、信号处理等领域。例如，在人脸识别中，Fisher准则可用于提取具有区分性的面部特征；在文本分类中，它可以帮助找出区分不同主题的关键词。 **与其他方法比较**： - **PCA**（主成分分析）关注于数据的总体变异，而Fisher线性分类器更关注于分类任务。 - **LDA**（线性判别分析）是Fisher线性分类器的广义形式，考虑了多类别情况，但假设所有类别共享相同的协方差矩阵。 - **SVM**（支持向量机）也是一种分类方法，它通过找到最大边界间隔来分类，与Fisher线性分类器的思路有所不同。 Fisher线性分类器是基于统计学的特征选择和降维方法，适用于线性可分数据，尤其在两类别问题上表现突出。在实际应用中，需结合具体问题和数据特性来选择合适的分类器。