研一资料\算法设计与分析\ch2

【算法设计与分析】是计算机科学中的核心课程之一，它主要关注如何有效地设计和分析解决特定问题的算法。本章（Chapter 2）探讨了一些基础的算法题目，并讲解了算法的正确性、效率以及优化方法。 1. **三位数反转**： 这是一个简单的数字处理问题，通过整数除法和取余操作来分离和反转三位数的各个位数。对于四位数或五位数，可以扩展这个逻辑，使用更广义的方法，例如通过模运算和除以适当的基数（如1000或10000）来分离每位数。 2. **Fibonacci数列**： 递归算法直接实现Fibonacci数列，但效率较低，因为存在大量的重复计算。可以通过记忆化搜索（备忘录法）改进递归算法，或者使用迭代法避免重复计算。此外，还可以使用通项公式直接计算Fibonacci数列的第n项，提高效率。 3. **判断素数的算法**： - **筛法（Sieve of Eratosthenes）**：适用于找出一定范围内的所有素数，通过标记倍数的方式消除非素数。此方法适合大批量素数的查找。 - **试除法**：简单但效率不高，适合小数值的素数判断。对于大数，其效率明显下降。 - **伪素数**：如果一个数在某种测试下表现出素数特性，但在其他测试下失败，它被称为伪素数。例如，拉宾-米勒（Rabin-Miller）算法通过多次随机选取基值和反复平方来更可靠地检测素数，减少了误判概率。 4. **3n + 1问题（Collatz Conjecture）**： 给定一个初始值n，根据3n + 1规则进行迭代，最终都将进入1的循环。对于输入987654321，同样会遵循这个规则，通过不断判断奇偶性和执行相应的变换，最后也会到达1。这个问题至今未被证明，是一个开放性的数学问题。 在分析算法时，我们通常关心以下几点： - **正确性（Correctness）**：确保算法能够正确地解决指定问题，无逻辑错误。 - **时间复杂度（Time Complexity）**：评估算法运行所需的时间资源，通常用大O符号表示，如O(n)、O(log n)等。 - **空间复杂度（Space Complexity）**：分析算法在运行过程中所需的存储空间。 - **可读性与可维护性（Readability & Maintainability）**：好的算法应易于理解，方便后期修改和优化。 - **优化（Optimization）**：通过改进算法结构、减少重复计算等方式提升效率。 在实际编程中，我们不仅要掌握各种基础算法，还需要学会根据具体问题选择合适的算法，并能对其进行优化，以适应不同的性能需求。这在研一阶段的学习中尤为重要，为后续深入研究计算机科学奠定了坚实的基础。