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卡尔曼滤波器详细推导-逐字稿-20页控制工程状态估计与数据融合信号处理

卡尔曼滤波器

状态空间方程

数据融合

协方差矩阵

扩展卡尔曼滤波

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控制工程基于卡尔曼滤波器的状态估计与数据融合，公式逐字稿推到卡尔曼滤波：系统不确定性处理及应用详解。内容概要：本文档是根据B站DR_CAN博士关于卡尔曼滤波器教学视频整理的逐字稿笔记。

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DR_CAN 卡尔曼滤波器笔记

https://space.bilibili.com/230105574/channel/collectiondetail?sid=1814741

笔记作者：钒煋

说明

致敬 DR_CAN 博士！

笔记是本人根据 B 站 DR_CAN 博士视频编写，每个公式都是用 Mathtype 逐个编辑的，基本

为逐字稿。

笔记仅供参考和查阅，可作为参考文本和 DR_CAN 博士视频一起学习，读者朋友也可以此为

笔记模板进行补充，形成自己的笔记，方便后续使用。

如有错误，欢迎指正，邮箱:[email protected]

更多内容输出，请关注公众号“钒煋”二维码，同 B 站“钒煋”：

卡尔曼滤波器

引言：

卡尔曼滤波器出现的背景：处理不确定性。

系统不确定性体现：

1、不存在完美的数学模型；

2、系统的扰动不可控，也很难建模；

3、测量传感器存在误差。

引入部分：

Eg：假设测一枚硬币，第 1 个人测量结果为

，第 2 人测量结果为

，……，第 k 个人测

量结果为

，第 k+1 个人的测量结果为

。估计硬币的真实值是多少？

估计硬币的真实值：取平均值。

定义：

为第 k 的估计值。按照取平均值的方法，定义第 k 次平均值如下：

z z z

+ + +



（1）

根据式（1）进行处理：

( )

1 2 1

ˆ ˆ

k k k

z z z

z z z z

k k k

x z x

−

−−

+ + +

−

+ + +

−

+ + +

−





−−



−





−



= − +

= + −

（2）

得：

( )

ˆ ˆ ˆ

k k k k

x x z x

−−

= + −

（3）

根据（3）可知：

1）当

1k →

，

xz=

。说明测量结果起到较大作用。

2）当

k →

，

ˆ ˆ

−

。说明测量结果已不重要。

对式（3）进行总结：令

，得

( )

ˆ ˆ ˆ

k k k k k

x x K z x

−−

= + −

（4）

解释公式（4）：

当前估计值

= 上次估计值

−

+ 卡尔曼增益

*(当前测量值

-上次估计值

−

)

：卡尔曼增益。

公式体现了：递推思想，当前估计值只和上一次估计值及当前测量值相关。

基本卡尔曼滤波器：

基本公式：

( )

ˆ ˆ ˆ

k k k k k

x x K z x

−−

= + −

（5）

定义：

估计误差：

EST

测量误差：

MEA

卡尔曼增益

（核心公式）为：

EST

EST MEA

−

（6）

分析 k 时刻：

1）

EST MEA

−

：

K 

，

xz

。

2）

MEA EST

−

：

K 

，

ˆ ˆ

−



。

实现步骤：

Step1：计算卡尔曼增益

EST

EST MEA

−

；

Step2：计算

( )

ˆ ˆ ˆ

k k k k k

x x K z x

−−

= + −

；

Step3：更新

(1 )

EST k EST

e K e

−

=−

。（后面详细推导）

假定所测量真实为 50，测量误差为 3，测量实际结果（47~53）。初始设定估计值 40，估

计误差为 5。

表 1 卡尔曼滤波典型计算案例

eMEAk

x^k

eESTk

平均值

46.875

0.625

1.875

47.30769

0.384615

1.153846

49.5

48.61111

0.277778

0.833333

50.33333

48.69565

0.217391

0.652174

48.92857

0.178571

0.535714

49.54545

0.151515

0.454545

50.5

49.86842

0.131579

0.394737

50.71429

49.53488

0.116279

0.348837

50.25

49.79167

0.104167

0.3125

50.44444

49.71698

0.09434

0.283019

50.3

49.82759

0.086207

0.258621

50.36364

50.07937

0.079365

0.238095

50.58333

49.85294

0.073529

0.220588

50.30769

49.79452

0.068493

0.205479

50.21429

49.67949

0.064103

0.192308

50.06667

49.81928

0.060241

0.180723

50.1875

49.65909

0.056818

0.170455

49.83871

0.053763

0.16129

50.16667

49.89796

0.05102

0.153061

50.21053

49.75728

0.048544

0.145631

50.05

图 1 各曲线对比说明图

0 5 10 15 20 25

信号对比

采样值卡尔曼滤波值平均值

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