### 算法与程序设计——穷举法
#### 一、教学目标
1. **知识与技能**
- 认识穷举法在日常生活问题解决中的应用，并认识到利用计算机用穷举法解决问题的高效性。
- 了解穷举法的基本概念及用穷举法设计算法的基本过程。
- 分析建立正确的数学模型，归纳穷举法的穷举技巧（穷举法的适用范围及变量定义范围）。
- 理解用穷举法设计程序的基本思路。能够根据具体问题的要求，使用穷举法设计算法，编写程序求解问题。
2. **过程与方法**
- 本节以“百钱买百鸡问题”为例，由浅入深地讲解穷举算法的思路。
- 利用“百钱百鸡”问题的解决过程引导穷举法解决问题的方法与过程，并由此类问题（如电子邮箱密码问题求解、水仙花数）引导学生对这一类问题抽象出具体的数学模型，运用穷举法独立实现程序。
3. **情感态度与价值观**
- 引导学生关注穷举法在社会生活中的应用，进一步提高利用信息技术解决实际问题的能力。
- 通过本节内容的学习，学生对设计算法求解问题有了进一步的认识，对设计算法的步骤更加熟练，思考问题更加严密和有条理，程序编制和调试更有经验。
- 通过小组讨论与探究活动，提高团队合作能力，促进探究的热情。
- 激发学生对算法知识的积累，以及继续学习的强烈愿望。
- 在解决问题的过程中进一步培养和提升学生的逻辑思维能力。
#### 二、教学重点和难点
**教学重点：**
1. 建立正确的数学模型，确定穷举方案。
2. 根据命题确定变量的取值范围。
3. 正确表达“符合条件”的判断。
4. 如何进行穷举法的优化，使得算法的效率更高。
**教学难点：**
1. 分析问题，建立数学模型，构造算法，确定穷举的范围。
2. 恰当安排穷举的方式，使得算法的效率更高。
3. 如何评价各种穷举策略的优劣。
#### 三、教材分析
**教学内容：**
本节内容选自《广东省普通高中信息技术选修一：算法与程序设计》第四章第二节，主要包括穷举法的基本思路、用穷举法求解问题（第一课时）、穷举法中穷举方案的选择等（第二课时）。本节课是穷举法的第一课时（用穷举法解决问题的基本过程）。
在本章第一节介绍了解析法之后，对于实际生活中列举类问题运用解析法不是太合适的场景，因此引入了另一种代表性的算法——穷举法。
#### 四、学生分析
本节内容的教学对象是高二年级学生，他们已经具备了一定的逻辑思维、分析问题、表达思想等能力。同时，通过前几个章节的学习与实践，学生已经历了用计算机解决问题的过程与步骤，学会了对计算机程序进行调试，并掌握了顺序、循环、条件三种程序结构，为本节内容的学习提供了良好的基础。前一节的学习，学生掌握了如何用解析法设计程序，但现实生活中也有很多问题往往无法用解析法求解，这就需要引入穷举法。
#### 五、穷举法的基本概念
穷举法是一种基本的搜索算法，其核心思想是对所有可能的情况逐一检查，直到找到符合条件的解或者确认不存在符合条件的解为止。穷举法适用于问题规模较小、可行解空间有限的情况。例如，“百钱买百鸡问题”就是穷举法的一个典型应用场景。
#### 六、穷举法的设计步骤
1. **明确问题：** 需要明确问题的目标是什么，需要解决什么问题。
2. **构建模型：** 建立数学模型，将问题转化为可以计算的形式。
3. **定义范围：** 确定变量的取值范围，这是穷举的基础。
4. **设计算法：** 根据问题特点，设计具体的穷举算法。
5. **编写程序：** 使用编程语言将算法转化为可执行的程序。
6. **测试与验证：** 运行程序，检验结果是否正确。
#### 七、穷举法的特点
- **优点：** 可以保证找到所有可能的解；易于理解和实现。
- **缺点：** 当问题规模较大时，所需的时间复杂度较高，可能会导致运行时间过长。
#### 八、案例分析：“百钱买百鸡问题”
假设有一百块钱，需要买一百只鸡，鸡的价格分别为：公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡三只1元。问如何购买才能恰好用完这一百块钱且买够一百只鸡？
1. **构建模型：** 设公鸡数量为x，母鸡数量为y，小鸡数量为z，则有5x + 3y + z/3 = 100 和 x + y + z = 100。
2. **定义范围：** 由于x, y, z均为正整数，且z必须是3的倍数，故0 ≤ x, y ≤ 100，0 ≤ z ≤ 300且z%3=0。
3. **设计算法：** 使用三层循环分别枚举x, y, z的所有可能组合，判断是否满足上述两个条件。
4. **编写程序：** 使用编程语言（如Python）实现上述算法。
5. **测试与验证：** 运行程序，检查输出结果是否正确。
#### 九、总结
穷举法虽然简单易懂，但在处理复杂问题时效率较低。因此，在实际应用中，通常会结合其他算法来优化穷举法，比如通过剪枝技术减少不必要的搜索，提高算法的效率。通过本节课的学习，学生不仅能够掌握穷举法的基本原理和应用，还能够在解决实际问题时更加灵活地运用各种算法。
