### 支持向量机(SVM)通俗导论
#### 1.0 什么是支持向量机SVM
支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种监督学习方法，广泛应用于统计分类和回归分析中。它最初由Vapnik等人在1990年代中期提出，并基于统计学习理论。SVM的主要目标是在有限的训练样本基础上，通过结构风险最小化原则提高学习机的泛化能力。
**结构风险最小化**意味着在控制经验风险（即训练误差）的同时，尽可能减少未来数据上的预测错误概率。这种策略有助于避免过拟合问题，即使在样本数量较少的情况下也能获得良好的泛化性能。
SVM的基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器。所谓间隔，是指决策边界与最近的训练样本之间的距离。最大间隔意味着决策边界尽可能远离所有训练样本，从而提高模型的鲁棒性和泛化能力。这一过程可以通过解决一个凸二次规划问题来实现。
#### 1.1 线性分类器
在深入理解SVM之前，需要先理解线性分类器的基本概念。线性分类器试图在特征空间中找到一个超平面（对于二维空间即为直线），能够将不同类别的数据点分开。
**1.1.1 分类标准**
在线性分类器中，每个数据点 \( x \) 是一个 \( n \)-维向量。假设类别 \( y \) 可以取值为 1 或 -1，分别代表两个不同的类。线性分类器的目标是在 \( n \)-维数据空间中找到一个超平面，其方程可以表示为 \( w^T x + b = 0 \)，其中 \( w \) 是权重向量，\( b \) 是偏置项。
**1.1.2 1或-1分类标准的起源：Logistic回归**
Logistic回归是一种常用的二分类模型，它将特征的线性组合通过Logistic函数（也称为Sigmoid函数）映射到 (0, 1) 区间内，表示该特征属于正类的概率。形式上，假设函数 \( h(x) = g(w^T x + b) \)，其中 \( g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \) 是Logistic函数。如果 \( h(x) > 0.5 \)，则分类结果为正类（y=1）；反之，则为负类（y=0）。
选择1或-1作为分类标签的原因在于简化计算，特别是便于SVM中使用的合页损失函数（Hinge Loss）的计算。这样做的好处是可以将分类问题转化为优化问题，从而更容易地找到最优分类边界。
**1.1.3 形式化描述**
线性分类器的形式化表示为：
- **决策函数**：\( f(x) = \text{sign}(w^T x + b) \)，其中 \( \text{sign} \) 函数返回 \( w^T x + b \) 的符号。
- **最优分类边界**：寻找能够最大化间隔的 \( w \) 和 \( b \)，即找到能够使 \( \max_{w,b} \left\{ \frac{1}{||w||} \min_i \left[ y_i (w^T x_i + b) \right] \right\} \) 最大化的 \( w \) 和 \( b \)。
- **间隔**：\( \gamma = \frac{2}{||w||} \)，它是决策边界与最近的数据点之间的距离。
SVM通过构建一个间隔最大的线性分类器来实现分类任务。这种模型不仅适用于线性可分的数据集，通过引入核技巧还可以处理非线性可分的情况。接下来，我们将进一步探讨SVM的核心原理及其应用。
