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附录二 Matlab 在线性代数中的应用
§1 向量组的线性相关性
求列向量组 A 的一个最大线性无关组可用命令 rref(A)将 A 化成阶梯形的行最简形
式，其中单位向量对应的列向量即为最大线性无关组所含向量，其它列向量的坐标即为
其对应向量用最大线性无关组线性表示的系数。
例 1 求下列矩阵列向量组的一个最大无关组。
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
=
43333
32012
66242
20121
A
解 编写 M 文件 ex1.m 如下：
format rat
a=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];
b=rref(a)
求得
b = 1 0 1/3 0 16/3
0 1 2/3 0 -1/9
0 0 0 1 -1/3
0 0 0 0 0
记矩阵
A
的五个列向量依次为
1
α
、
2
α
、
3
α
、
4
α
、
5
α
，则
1
α
、
2
α
、
4
α
是列向
量组的一个最大无关组。且有
213
3
2
3
1
ααα
+= ，
4215
3
1
9
1
3
16
αααα
−−= .
例2 设
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
==
221
212
122
],,[
321
aaaA ，
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
==
24
30
41
],[
21
bbB ，
验证
321
,, aaa 是
3
R
的一个基，并把
21
,bb 用这个基线性表示。
解 编写 M 文件 ex2.m 如下：
format rat
a=[2,2,-1;2,-1,2;-1,2,2];b=[1,4;0,3;-4,2];
c=rref([a,b])
求得
c= 1 0 0 2/3 4/3
0 1 0 -2/3 1
0 0 1 -1 2/3
§2 线性方程组
Matlab 中解线性方程组可以使用“\”。虽然表面上只是一个简简单单的符号，而它
的内部却包含许许多多的自适应算法，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程它将给
出范数最小的一个解，解三对角阵方程组时用追赶法等。
另外欠定方程组可以使用求矩阵 A 的阶梯形行最简形式命令 rref(A)，求出所有的
