2021“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛（5）-题解集1

这篇文本涉及的是算法设计和竞赛解题的相关知识，主要介绍了不同题目的解题策略和算法思想。以下是这些题目解法的详细解析： 1001题：这道题目涉及到数据结构的运用，特别是线段树。操作可以在虚实边切换时用线段树进行区间修改，同时维护其他操作的答案。操作1和操作2分别对应区间修改和单点查询，复杂度为O(logn)。 1002题：该题可以通过字符出现次数的统计来解决。利用单位根反演的方法，可以将问题转化为求解特定字符出现次数的和，总时间复杂度为O(n)。 1003题：这是一个几何问题，涉及到在高维空间中寻找一组点，使得对于任何染色方案，都能找到一个超平面将不同颜色的点分开。证明思路分为两步，首先证明存在一组点可以满足条件，然后证明若点数过多，一定存在无法分割的染色方案。 1004题：此题是关于字符串处理的，目标是找到满足k-匹配的最长子串。可以通过双指针和k-匹配的单调性，在O(n^2)的时间复杂度内计算所有子串的最长匹配长度。进一步，通过动态规划或前缀和优化，可以在O(n^2)的时间内计算所有分割情况下的答案。 1005题：这道题目需要构造矩阵并解线性方程组，通过转移方程构建无自环矩阵和自环的对角矩阵，然后求解矩阵方程。 1006题：题目要求简单地模拟一棵树的节点数量，输出即可。 1007题：这是一道关于代价优化的问题。最大代价情况需要填满所有空间，最小代价情况需要考虑重力影响，可能需要建立一面随角度变化的竖墙。 1008题：本题涉及概率计算，求解条件概率。可以使用高维前缀和优化算法，时间复杂度为O(n)。 1009题：暴力方法的时间复杂度为O(n^2)。更优的解法包括使用权值线段树、树状数组，或者根据元素出现次数的分布进行桶计数、哈希表或集合计数，然后根据出现次数的不同范围分别处理，复杂度可以优化到O(nlogn)或更低。 以上各题的解法展示了算法设计中的经典思路，如线段树、动态规划、矩阵运算、概率计算以及数据结构的高效应用。理解和掌握这些算法思想对于提升编程竞赛能力和实际问题解决能力至关重要。