第一章课后思考题1

【知识点详解】 1. **甲乙网球比赛概率问题** 这个问题涉及到概率论中的几何分布。甲每局获胜的概率为 p，甲赢得比赛的条件是他先赢得1+n局。甲赢得比赛的概率可以通过计算他在前n局内赢得n局的概率，然后乘以在接下来的第21局获胜的概率来得到。甲赢得前n局的概率是 $p^n$，因为在每局比赛中他都有赢的机会。接着，甲需要在第21局中获胜，这一局赢的概率仍然是 p。因此，甲最终赢得比赛的概率是 $p^n \times p$。 若 $p<\frac{1}{2}$，即甲每局获胜的概率小于50%，随着比赛局数n的增加，甲赢得比赛的概率会变小，因为乙有更多的机会先达到胜利条件。所以，甲最终获胜的概率不会随着n的增加而增大。当 $n \to \infty$ 时，甲获胜的概率趋向于0，因为乙有更大的概率先赢得足够的局数。 2. **Polya抽球模型** 这是一个概率模型，涉及到了放回抽样和不放回抽样的概率计算。对于任意一次抽球，无论是放回还是不放回，取得红球的概率始终保持不变，这是由于每次抽取的独立性。对于任意时刻取得红球的概率，不论之前发生了什么，红球的比例始终是 $\frac{r}{b+r}$，这就是基础概率的性质。 对于第m次和第n次（m<n）都取得黑球的概率，可以使用数学归纳法来证明。基本步骤是首先验证基本情况（比如m=1, n=2），然后假设对于任意的k<n，第m次到第k次都取到黑球的概率为$\frac{b^k}{(b+r)^k}$，再证明这个假设对于k+1也成立。这样就可以得出第m次到第n次都取到黑球的概率是 $\frac{b^n}{(b+r)^n}$。 3. **射击概率分布** 这是一个关于停止时间随机变量的问题，也称为几何分布的变种。每次射击是独立的，且命中概率为 p，未命中概率为 q = 1 - p。连续两次命中后停止，所以射击次数的可能值是2、3、4等。射击次数为k的概率是 $(q)^{k-2} \times p^2$，因为前k-2次都没有命中，然后连续两次命中。这个分布的期望值是 $\frac{2}{p}$。 以上三个问题都属于概率论与数理统计的范畴，涵盖了概率的计算、独立事件的影响以及随机变量的分布特性。在实际应用中，这些概念广泛应用于数据分析、决策制定和各种复杂系统的研究中。