2021“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛（10）-题目集1

2021年“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛第十场比赛中呈现的题目集1包含了两个富有挑战性的算法问题，它们不仅仅是对参赛者算法能力的一次考验，更是对逻辑思维和数学理解力的深度挖掘。在这篇文章中，我们将详细解读这两个问题，并探究求解它们的可能方法。 首先是问题A，即“Pty loves sequence”。此问题要求参赛者首先明确何为“好序列”，即长度为n的正整数序列，且该序列中包含了从1到k的所有整数作为其子序列，其中k是序列中的最大值。问题A旨在计算所有这样的好序列数量，并对给定模数p取模。在计算总数之后，参赛者还需对每个在[1, n]范围内的整数x，在所有好序列中出现的次数进行计数，同样要对p取模。 解决此类问题，一个有效的方法是利用组合数学中的排列组合原理。参赛者可以尝试构建一个动态规划模型，其中动态规划的每一状态dp[i][j]表示长度为i，最大值为j的好序列数量。在构建过程中，需要考虑序列的构造原则，即如何从一个已知的较小状态推导到下一个更大的状态。而求解x在所有好序列中的出现次数，则需要更细致地分析每个序列中x的排列位置，以及如何对所有可能的序列进行计数。 接下来讨论问题B，“Pty with card”。这是一个涉及概率和组合优化的问题，围绕着围成一圈的参与者和每人手中的一张卡片展开。游戏规则设定了参与者的起始点和后续行为模式，但是具体问题描述的细节未给出，因此我们只能推测其可能的求解策略。 为了解决问题B，参赛者可能需要理解卡片游戏的规则，并构建一个模型来分析不同玩家的胜率。这可能涉及到概率计算、图论中的循环问题，甚至可能需要利用递归算法来解决。问题B考察的是参赛者如何将实际问题转化为可计算的数学模型，以及如何使用算法工具解决实际问题。 在算法竞赛中，问题A和问题B是两个非常典型的例子。问题A强调的是算法的构造能力和对特定问题的深入理解，而问题B则更注重算法在现实问题中的应用和策略设计。这两个问题都离不开动态规划、递归和组合数学等算法基础，同时也需要参赛者对问题有独到的理解，以及创新的解题思路。 参赛者在面对此类问题时，不仅需要具备扎实的算法知识，还应该对各种算法技巧有实践经验，能够灵活运用在不同的问题上。例如，对于问题A，参赛者需要能够迅速识别出可以通过动态规划来解决的问题类型，并且能够设计出合适的状态转移方程。对于问题B，参赛者则需要运用概率论、图论等领域的知识，建立数学模型，进而推导出最优策略。 通过参与像“MINIEYE杯”这样的算法设计超级联赛，大学生不仅可以锻炼自己的算法思维和解决复杂问题的能力，还有机会将所学知识应用于实际问题，解决现实世界中的挑战。无论是在学术研究还是在未来的职业生涯中，这些经验都是宝贵的财富。因此，对于任何有志于提升自身算法能力的大学生来说，参加此类竞赛都是一个不容错过的机会。