2021“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛题解1

在2021“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛中，参赛者们面临了一系列挑战性的题目，涵盖了许多算法领域。以下是其中几道题目的解析和涉及的知识点： 1. **1001 I love cube**：这是一道签到题，目标是找出所有可能的等边三角形。解决方案是遍历每个可能的边长，计算以该边长为边的等边三角形的数量，最后的结果需要对特定模数取模。 2. **1002 I love tree**：本题涉及到线段树的应用。可以采用树剖的方式，将问题转化为区间加二次函数。维护线段树的标记，可以使用分块技术优化，通过差分来加速区间修改和查询，总时间复杂度为O(n√n)。 3. **1003 I love playing games**：这道题是关于图论和最短路径的。使用动态规划（DP）解决点之间的最短路问题，判断先手或后手的获胜策略。时间复杂度与最短路算法相关。 4. **1004 I love counting**：此题是上一场竞赛的复习题，要求对树进行操作。可以使用树上询问的方法，建立子树信息，并在每个子树上做二维数点，类似于区间数颜色转化为前驱<询问左端点，查询点在区间内的方法。 5. **1005 I love string**：题目与字符串处理有关。模拟字典序最小的序列，关键在于识别可变的字符段，然后根据该段长度计算可能的序列数量。 6. **1006 I love sequences**：这道题涉及到卷积运算，可以使用矩阵快速幂的方法，将卷积转化为矩阵乘法，时间复杂度为O(nlogn)。 7. **1007 I love data structure**：题目涉及二三操作和矩阵快速幂。在线段树上维护矩阵乘法和加法标记，使用矩阵更新算法进行下放操作。 8. **1008 I love exam**：这是一个背包问题的变种，需要计算在有限时间内每门课程能获得的最大分数，然后进行组合优化。使用动态规划（DP）进行求解，时间复杂度为O(nW)，其中n是课程数，W是天数。 9. **1009 I love triples**：问题要求计算满足特定条件的三元组数量。可以通过消去平方因数并离散化，然后分别处理两类情况：不含特定因数的三元组和含有相同大因数的三元组。 10. **1010 I love permutation**：这题涉及排列的逆序对计算。通过对排列进行排序，可以计算逆序对的奇偶性，从而解决问题。 11. **1011 I love max and multiply**：要求找到满足特定条件的最大乘积。可以使用动态规划分别求解两部分，然后相乘取最大值。 以上各题展示了算法设计的多样性和深度，包括但不限于动态规划、树剖、矩阵快速幂、字符串处理、图论、区间查询和背包问题等核心算法知识。解决这些问题需要参赛者具备扎实的算法基础和灵活的思维能力。