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第 31 卷第 8 期

Vol. 31 No. 8

控制与决策

Control and Decision

2016 年 8 月

Aug. 2016

状态饱和离散线性系统的稳定性分析

文章编号: 1001-0920 (2016) 08-1475-06 DOI: 10.13195/j.kzyjc.2015.0910

钱明霞

, 嵇小辅

(江苏大学 a. 财经学院，b. 电气信息工程学院，江苏镇江 212013)

摘要: 讨论一类具有状态饱和非线性的离散线性系统稳定性分析问题. 通过引入无穷范数小于等于1 的自由矩阵

与对角元素非正的对角矩阵, 将状态饱和离散线性系统的状态变量约束在一个凸多面体内, 进而以矩阵不等式形式

给出状态饱和离散线性系统的稳定性判据, 并给出该矩阵不等式的迭代线性矩阵不等式算法. 基于这一稳定性判据,

给出了基于迭代线性矩阵不等式的状态反馈控制律设计算法. 通过状态饱和离散线性系统的状态空间分割方法, 给

出了保守性更小的稳定性判据, 并给出了相应的迭代线性矩阵不等式算法. 数值例子验证了所给出方法的正确性与

有效性.

关键词: 离散系统；稳定性分析；饱和非线性；迭代线性矩阵不等式

中图分类号: TP273 文献标志码: A

Stability analysis for discrete-time linear systems with state saturation

QIAN Ming-xia

, JI Xiao-fu

(a. School of Finance & Economics，b. School of Electrical and Information Engineering，Jiangsu University,

Zhenjiang 212013，China．Correspondent：QIAN Ming-xia，E-mail：[email protected])

Abstract: The stability analysis for a class of discrete-time linear systems with state saturation nonlinearity is concemed.

By introducing a free matrix with inﬁnity norm less than or equal to 1 and a diagonal matrix with nonpositive diagonal

elements, the state of this discrete-time linear system under state saturation constraint is conﬁned in a convex hull. In this

way, a criterion for discrete-time linear systems with state saturation to be asymptotically stable is obtained in terms of

bilinear matrix inequalities that can be resolved by using the presented iterative linear matrix inequality algorithm. Based

on this criterion, the state feedback control law synthesis problem is also resolved and the corresponding iterative linear

matrix inequality algorithm is given. A further study shows that the space division method can be also applied to solve

this problem with less conservativeness. Numerical examples are used to illustrate the effectiveness and correctness of the

proposed method.

Keywords: discrete-time；stability analysis；state saturation nonlinearity；iterative linear matrix inequality

0 引引引言言言

状态饱和现象广泛存在于工程系统, 如有限精度

的计算机存储系统, 具有位置和速度约束的机械系统

与神经网络等

[1]

. 这类系统的特点在于其状态变量都

被约束在一个多面体内. 为了方便起见, 在稳定性分

析与控制律设计过程中通常忽略饱和非线性的影响,

但这种情况下设计的控制律并不能保证闭环系统具

有既定的性能, 甚至不能保证闭环系统的稳定性. 因

此, 状态饱和系统的稳定性分析与控制律设计问题受

到了国内外研究者的广泛重视.

文献 [1] 首次研究了状态饱和系统的稳定性分析

问题, 相关结论很快推广到滤波器设计问题

[2-3]

. 考虑

到平面系统的特殊性, 文献 [4] 讨论了平面系统的稳

定性问题, 所得结论被进一步推广到一般状态饱和系

统

[5]

. 在这些结论的基础上, 很容易获得部分状态饱

和线性系统的稳定性判据

[6]

. 这些稳定性判据可以分

成两类: 一类是研究系统稳定时系统矩阵必须满足

的条件

[7-8]

; 另一类是约束 Lyapunov 矩阵为特殊结构,

如对角矩阵

[9]

. Fang 等

[10]

引入对角元素为负的行对

角占优矩阵, 将连续时间状态饱和线性系统的状态向

量约束在顶点与对角占优矩阵相关的凸多面体内, 运

用鲁棒控制理论给出了稳定性判据. 文献 [11] 进一步

收稿日期: 2015-07-18；修回日期: 2015-10-13.

基金项目: 工业控制技术国家重点实验室开放课题项目(ICT1559)；浙江省重中之重学科开放基金重点项目；江苏高

校优势学科建设工程项目.

作者简介: 钱明霞(1980−), 女, 博士, 讲师, 从事饱和系统的研究；嵇小辅(1979−), 男, 教授, 从事鲁棒控制理论等研究.

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