程序员面试金典 – 面试题 17.24. 最大子矩阵（转成一维最大子序和 DP）

文章目录1. 题目2. 解题2.1 前缀和（超时）2.2 动态规划 1. 题目 给定一个正整数和负整数组成的 N × M 矩阵，编写代码找出元素总和最大的子矩阵。 返回一个数组 [r1, c1, r2, c2]，其中 r1, c1 分别代表子矩阵左上角的行号和列号，r2, c2 分别代表右下角的行号和列号。 若有多个满足条件的子矩阵，返回任意一个均可。 示例: 输入: [ [-1,0], [0,-1] ] 输出: [0,1,0,1] 说明： 1 <= matrix.length, matrix[0].length <= 200 来源：力扣（LeetCode） 链接：https:/ 【最大子矩阵问题】在编程面试中，这是一个常见的问题，主要考察的是算法设计和优化能力。题目要求在给定的N×M矩阵中找到元素总和最大的子矩阵，并返回其左上角和右下角的坐标。矩阵中的元素可以是正整数、负整数。 **解题方法** 1. **前缀和（超时）** - 这是一种暴力求解的方法，通过计算每个位置与(0,0)构成的子矩阵的和，然后遍历所有可能的子矩阵。这需要四层循环，时间复杂度为O(m^2n^2)，在大数据量下会超时，无法通过所有的测试用例。 - 求前缀和的过程是通过对每一行和每一列进行预处理，更新矩阵中每个位置的前缀和，以便快速计算子矩阵的和。 2. **动态规划（推荐）** - 更高效的方法是采用动态规划，类似于LeetCode 53. 最大子序和的问题。我们遍历所有可能的行组合，然后对每行的列求和，得到一个一维数组。接下来，我们对这个一维数组应用Kadane's Algorithm（卡丹算法）找到最大子序列和。 - 时间复杂度优化到O(m^2n)，比前缀和方法更优，能处理更大的矩阵大小。 **动态规划解法详细步骤：** - 初始化变量`maxSum`为最小整数，用于记录当前找到的最大子矩阵和；`ans`数组用于存储结果子矩阵的坐标。 - 遍历矩阵的行，对于每一行`i`，维护一个一维数组`sumRi_Rj`，表示从第`i`行到当前行的所有列的和。 - 对于每一行，重新计算`sumRi_Rj`，并用Kadane's Algorithm求其最大子序列和。这个过程可以在O(n)时间内完成，因为只需要遍历当前行的列。 - 当找到新的最大子矩阵和时，更新`maxSum`和`ans`数组。 **Kadane's Algorithm（卡丹算法）**： - 该算法用于寻找一个一维数组中的最大连续子序列和，其核心思想是维护两个变量，`maxCurrent`表示当前子序列的最大和，`maxGlobal`表示全局最大和。遍历数组，如果当前元素加上`maxCurrent`大于当前元素，那么更新`maxCurrent`；否则，将`maxCurrent`重置为当前元素。在每次迭代结束后，如果`maxCurrent`大于`maxGlobal`，则更新`maxGlobal`。 - 在最大子矩阵问题中，Kadane's Algorithm用于找到每行转换后的一维数组的最大子序列和，这样可以快速找到最大子矩阵。 **总结：** 最大子矩阵问题的关键在于使用动态规划优化搜索过程，降低时间复杂度。对于面试或实际编程问题，应当优先考虑更高效的动态规划解决方案。同时，了解并掌握如Kadane's Algorithm这样的经典算法，对于解决类似问题非常重要。在实现过程中，注意代码的简洁性和可读性，以及对边界条件的处理。