E-凸集,E-凸函数和半-E-凸函数 (2005年)

E-凸集、E-凸函数和半-E-凸函数的概念最早由E.A.Youness在1999年提出，他通过对传统凸集和凸函数的定义进行弱化，推广出新的数学结构和理论。这些概念的提出主要是为了解决实际问题中广泛存在的非凸集合和非凸函数，以弥补传统凸分析方法在最优化理论中的局限性。 E-凸集是通过映射函数E将原集合映射到另一个集合，从而形成一个新的集合，使得原集合中任意两点的凸组合（按照一定的λ值进行组合）经过映射后仍然落在映射得到的集合内。这与传统的凸集的定义略有不同，传统凸集直接考虑集合内任意两点的凸组合仍然在集合内。 接着，E-凸函数则是定义在E-凸集上的函数，它也涉及到映射函数E。对于E-凸函数，存在一个映射E使得原函数在映射后的集合上满足类似于凸函数的性质。而半-E-凸函数是在E-凸集上的函数，它具有与E-凸函数相似的性质，但其定义要求相对宽松。 在定义的基础上，本文的研究者们进一步探讨了E-凸集和E-凸函数的性质，提出了一些新的定理和结论，进一步丰富了E-凸集和E-凸函数的理论体系。例如，他们研究了E-凸集的交集依然是E-凸集的性质，以及半-E-凸函数的水平集（即函数值大于等于某个常数的点组成的集合）依然是E-凸集的性质。 特别地，本文提出的一个重要结论是，任何定义在E-凸集上的半-E-凸函数的水平集都是E-凸集。这个结论为半-E-凸函数的研究提供了新的工具和方法。同时，文章还指出，虽然凸函数是E-凸函数的一种特殊情况，但并非所有的E-凸函数都是凸函数。这为E-凸函数的研究提供了更广阔的领域。 此外，研究者们还给出了一个充要条件，即如果存在一个映射E使得某个集合M成为E(M)，并且某个函数在M上是E-凸函数，则该函数在M上也是凸函数。这个条件是对E-凸函数的一个重要限定，为理解和应用E-凸函数提供了方便。 通过这些研究工作，我们可以看出E-凸集、E-凸函数以及半-E-凸函数不仅填补了传统凸分析的空缺，而且为研究复杂的非凸问题提供了新的思路和方法。它们的提出，极大地推动了数学特别是最优化理论的发展，为解决实际中的非凸问题提供了强大的理论支持。