标题中提到的“Russell悖论”是哲学和数学中一个非常著名的悖论，由哲学家兼数学家伯特兰·罗素提出。这个悖论讨论了关于集合自身是否能包含自己作为一个成员的问题，它揭示了朴素集合论中自引用问题的矛盾。Russell悖论是这样表述的：考虑所有不包含自己作为成员的集合所组成的集合R，那么R是否包含自身？如果R包含自身，根据定义，它就不应该包含自己；但如果R不包含自己，根据定义，它又应该包含自己。这样就形成了一个逻辑上的矛盾。
描述中提到的“ZFC的正则公理”指的是在集合论中用于避免悖论的一个基本公理。ZFC代表Zermelo-Fraenkel集合论，加上选择公理（Axiom of Choice）。正则公理是ZFC集合论中的一个核心组成部分，它规定了不存在这样的集合，使得该集合能够包含自身作为一个成员，从而避免了类似Russell悖论这样的自引用悖论的发生。
“无根基悖论”和“多值逻辑悖论”是在对逻辑系统进行研究时遇到的问题。无根基悖论指的是逻辑上无法确定某些集合是否为基础集合的问题；多值逻辑悖论则是在多值逻辑系统中产生的悖论，比如在三值逻辑系统中一个命题可能取三种值“真”、“假”或“未知”。这些悖论都是从Russell悖论变化而来，它们在数学和逻辑领域中都引起了广泛的关注和讨论。
文章中提到的朱梧樱和肖莫安两位学者在对这些悖论进行评析时，使用了ZFC集合论中正则公理的几种等价形式。等价形式是指在逻辑上与原公理等价的陈述，即便它们的表述方式不同，但具有相同的逻辑蕴含力。这些等价形式有助于对悖论集合进行分析，从而得出结论这些悖论集合不存在于ZFC系统中，也就是说，在ZFC系统内这些悖论不会出现。
另外，文章中提到的莫绍撰先生在研究中指出，保持概括原则的情况下，使用多值逻辑系统仍然无法排除悖论。概括原则是指从任意条件可以决定一个集合的原理。莫绍撰先生的研究表明，即使在有穷值逻辑系统中，也仍然包含了悖论，这与人们原先的假设相反。而类型论、ZFC系统和BG系统共同的特征是直接或间接地限制了概括原则造集的任意性，以避免悖论的产生。
在对无根基悖论的评析和介绍中，文章提到了集合的定义，这些定义帮助我们理解所谓的“无根基集”和“有根基集”。无根基集是指存在一系列集合，通过迭代包含关系最终回到自身的情况；而有根基集则不存在这样的迭代过程。而循环集和非循环集的定义则是描述了在集合的迭代过程中，是否存在一个固定的迭代周期。n循环集的定义则是将这种循环性固定为具体的周期n。通过这些定义，可以看出悖论的产生与集合的迭代结构有密切关系。
在研究和评论中，作者们通过通俗的自然语言和通用的符号系统，向读者展示了如何使用ZFC系统的正则公理来分析这些悖论，并得出这些悖论在ZFC系统中不成立的结论。他们还提出，尽管多值逻辑系统被认为能够排除悖论，但实际上，在保持概括原则的同时，无法达到预期的效果。这也进一步强调了在逻辑和数学中处理悖论时需要谨慎，以及合理选择公理系统的重要性。
