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第
30
卷第
2
期
2003
年
北京化工大学学报
JOURNAL
OF
BEIJING
UNIVERSITY
OF
CHEMICAL
TECHNOLOGY
Vo
l.
30,
No.2
2003
任意二次曲线的双圆弧拟合成形法
邱挥张莉彦张有忧
(北京化工大学机电工程学院,北京
100029)
摘
要:文中介绍的是用双圆弧拟合平面任意二次曲线,首先利用几何知识对任意形式的平面二次曲线进行分类,
然后对分类后的各种二次曲线分别进行双圆弧拟合,使拟合后的双圃弧曲线满足精度要求。对于数控加工具有实
用意义,扩大了数控加工的范围。
关键词
z
双圆弧拟合;法向误差
E
型值点;数控加工
中图分类号:
TH164
引
、一一百
二次曲线的加工是数控机床加工经常遇到的问
题。由于目前绝大多数数控机床的数控装置只具备
直线插补和圆弧插补的功能,不能直接对二次曲线
进行拟合、插补,要对其进行加工只能先进行拟合然
后插补才能够加工,因此能作任意二次曲线的双圆
弧拟合的编程输入软件是十分需要的。
由于工程应用不同,对曲线拟合的要求也不同。
有的只要求拟合曲线光滑,有的要求光顺
[1]
。本课
题开发的软件要求是:能输入任意二次曲线;拟合曲
线要求光滑;拟合曲线与函数曲线间的误差应控制
在允许的范围之内,且拟合圆弧段数较少。
本文对任意二次曲线的双圆弧拟合,建立在对
平面任意二次曲线可以进行分类的基础上,先将二
次曲线分类,然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合。
目前的数控系统还没有专门的二次曲线的加工方
法,故本文描述的方法具用实用价值。
1
二次曲线的一般理论
[2J
在平面直角坐标系中,二元二次方程
allx2
+
2a12xy
+ a22y
2
+
2a13x
+ 2a23Y +
a33
=0
(1)
在不同的坐标系下,平面上一点的坐标、一条曲
线的方程是不同的。通过利用坐标变换(坐标轴的
平移和旋转)
,将一般二次曲线方程化成最简形式,
收稿日期:
2002-06-25
第一作者:男,
1976
年生,硕士生
E-mail:
qiuhui-buct@yah
∞.
com.cn
借以确定曲线的形状和位置。适当选择坐标系,二
次曲线方程可简化成几种标准方程。由实际的工程
应用可知,在实际的加工中只有椭圆、双曲线、抛物
线和直线具有工程价值。数控机床具有直线的插补
功能,所以这里只考虑椭圆、双曲线和抛物线的双圆
弧拟合。
2
曲线的双圆弧拟合方法
[3-7J
按平面曲线给定一列有序型值点(节点)
,每相
邻节点之间有两条相切圆弧构成,两困弧通过一个
节点,且节点处的切线斜率与曲线在节点处的斜率,
相等,叫做曲线的双圆弧拟合。双圆弧拟合有六个
参数需要确定:两节点鸟
,
P
i
+
1
;
两节点
P
i
,
P
i
+
1
处
的切线斜率;双圆弧的切点
T;
双圆弧切点处的公
切线斜率。前四个参数可由曲线的参数方程按给定
参数值求得。双圆弧拟合方法主要根据后两个参数
的求法不同而不同,但不难证明两圆弧相切点位置
结论:相切点位置有无穷多个;相切点的轨迹是一个
圆弧一一轨迹弧。
为确保双圆弧的正确拟合,要求:
(1)两拟合圆弧应满足保凸要求,即两相邻节
点
Pi
,
P
i
什
+1
处切线
P
切线方向前进日时才,与另一切线的反向延长线的交点,
反之为虚交点)
;
(2)
拟合的圆弧段需要采用劣弧,即两节点连
线
P
;Pi+l
与两切线
P
i
M
,
P
i
+
1
M
构成的三角形中
α+
卢
<π/2
。
3
双圆弧拟合
图
1
,设节点
A
和
B
为在第
i
+
1
个区间
[P
i
,
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