FFT算法程序分步详解C程序.rar_1VY_fft_fft详解

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**FFT（快速傅里叶变换）算法是一种在数字信号处理领域广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。在这个“FFT算法程序分步详解C程序”中，我们将深入理解基2蝶形算法的实现过程。** **一、离散傅里叶变换（DFT）** 离散傅里叶变换是将离散时间序列转换到频率域的工具。对于一个长度为N的序列x[n]，其DFT定义为： X[k] = Σ(x[n] * e^(-j * 2π * k * n / N)) ，其中n = 0, 1, ..., N-1，k = 0, 1, ..., N-1 **二、快速傅里叶变换（FFT）** FFT是DFT的一种快速计算方法，尤其适合于处理数据量较大的情况。基2 FFT算法是FFT中最常见的一种，它将DFT分解成更小的DFT，并利用对称性减少计算量。 **三、基2蝶形运算** 基2 FFT算法的核心是蝶形运算，它是DFT的复数乘加运算的一种简化形式。在一个基2 FFT中，序列被分成大小为2的幂的子序列，然后通过一系列的蝶形运算进行处理。 1. **层次分解**：将N点DFT分解成N/2点的两个子问题，再继续分解，直到子问题规模为1。 2. **蝶形运算**：每个蝶形运算涉及两个复数的线性组合，可以表示为： X[k] = X'[k] + W_N^k * X'[k+N/2] X[k+N/2] = X'[k] - W_N^k * X'[k+N/2] 其中W_N^k = e^(-j * 2π * k / N)，是N点DFT的复根。 3. **复数旋转因子**：W_N^k的使用减少了乘法的数量，因为只涉及到指数运算。 4. **倒序排列**：为了正确地执行FFT，输入序列通常需要按照下标进行倒序排列，这被称为位反转。 **四、C程序实现** 在提供的C程序"FFT算法程序分步详解.c"中，你会看到如何将这些理论转化为实际的代码。程序通常会包括以下步骤： 1. 初始化输入序列。 2. 按照基2分解规则，创建分解树。 3. 进行蝶形运算，包括实部和虚部的更新。 4. 可能需要进行位反转操作。 5. 得到的DFT结果存储在数组中。通过逐步解释和示例代码，这个压缩包旨在帮助读者理解FFT算法的程序实现，特别是基2蝶形算法的工作原理。在学习过程中，你可以通过调试代码，观察中间变量的变化，以加深对FFT的理解。同时，理解并掌握FFT算法对于处理音频、图像、通信等领域的问题具有重要意义。

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FFT算法程序分步详解.c 4KB

public unsafe static class FourierDNR { public static void ForwardTransform(Complex* samples, int length) { int nm1 = length - 1; // 变换的点数，也就是算法中的 N ，nm1=N-1, int nd2 = length / 2; // 算法中N/2 int i, j, jm1, k, l, m, le, le2, ip; float ur, ui, sr, si, tr, ti; m = 0; i = length; // 功能：通过移位次数计算蝶形算法的阶数m， // 条件：i是2的m次方， // 例：i=2^3=8,循环3次,所以m=3，三阶蝶形算法 while (i > 1) { ++m; i = (i >> 1); } j = nd2; // 该for 循环实现倒位序； // 时域抽取算法中，输入序列需要倒位序，输出序列是正序 // 频域抽取算法中，输入序列是正序，输出序列需倒位序 // tr、ti : 将输入序列看做复数，tr、为实部，ti是虚部； // samples : 是输入序列缓冲区，在数组内部实现倒位序 // 注意：从循环可以看出，i=0,i=nm1没有参与操作，也就是第一点和最后一点不参与倒序 for (i = 1; i < nm1; ++i) { if (i < j) // j=N/2 { tr = samples[j].Real; ti = samples[j].Imag; samples[j].Real = samples[i].Real; samples[j].Imag = samples[i].Imag; samples[i].Real = tr; samples[i].Imag = ti; } k = nd2; // k=N/2 while (k <= j) { j = j - k; k = k / 2; } j += k; } // 以下为蝶形算法过程 // l : 表示第几阶蝶形运算 // m : 上面求出的总共的级数或阶数，若N=8,则m=3 for (l = 1; l <= m; ++l) // 第一级循环，代表当前是第几级蝶运算；若N=8,则m=3,=>总共循环3次 { le = 1 << l; le2 = le / 2; // le2：节点间距离，也就是本级旋转因子的个数 ur = 1; // Wn0实部，也是中间变量 ui = 0; // Wn0虚部，也是中间变量 sr = (float) Math.Cos(Math.PI / le2); // 旋转因子实部，每一级的旋转解度不同，le2决定了旋转角度 si = (float) -Math.Sin(Math.PI / le2); // 旋转因子虚部，每一级的旋转解度不同，le2决定了旋转角度 for (j = 1; j <= le2; ++j) // 第二级循环，代表当前是第几个旋转因子， { jm1 = j - 1; for (i = jm1; i <= nm1; i += le) // 第三级循环，代表同一级同一个旋转因子作的运算 { ip = i + le2; // i 是参与蝶形运算上方节点的序号，+le2（距离）后，=ip,即下方节点的序号 tr = samples[ip].Real * ur - samples[ip].Imag * ui; // 蝶形运算下方的值*旋转因子 ti = samples[ip].Real * ui + samples[ip].Imag * ur; samples[ip].Real = samples[i].Real - tr; // 下方为减 samples[ip].Imag = samples[i].Imag - ti; samples[i].Real = samples[i].Real + tr; // 上方为加 samples[i].Imag = samples[i].Imag + ti; } // 以下三名是从当前旋转因子，以旋转生成下一个旋转因子 tr = ur; ur = tr * sr - ui * si; ui = tr * si + ui * sr; } } } public static void InverseTransform(Complex* samples, int length) { for (int i = 0; i < length; i++) { samples[i].Imag = -samples[i].Imag; // 输入序列虚部取反，相当于对这个复数序列取共轭 } ForwardTransform(samples, length); // 做一次正变换 var factor = 1.0f / length; // 计算缩放因子 for (int i = 0; i < length; i++) { samples[i].Real = samples[i].Real * factor; // 实部缩放 samples[i].Imag = -samples[i].Imag * factor; // 虚部缩放，并取共轭 } } }