小波变换 完美通俗解读
要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚
什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变
换。变换的是什么东西呢？是基，也就是 basis。如果你暂时有些遗忘了 basis 的定
义，那么简单说，在线性代数里，
basis
是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空
间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那 basis 在变换里面
啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个
basis 的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波
变换自然也不例外的和 basis 有关了。再比如你用 Photoshop 去处理图像，里面的图
像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和
basis
的改变有关。
既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个 basis 的选取非常重要，
因为 basis 的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的 basis，什
么样的 basis 比较好，很大程度上取决于这个 basis 服务于什么应用。比如如果我们希
望选取有利于压缩的话，那么就希望这个
basis
能用其中很少的向量来最大程度地表
示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常
见的线性变换，最省计算量的完美
basis
就是
eigenvector basis
了，因为此时变换矩
阵 T 对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a 是 eigenvalue )。总的来说，抛开
具体的应用不谈，所有的
basis
，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计
算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。
好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也
是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干
嘛。
傅立叶级数最早是 Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个 basis 不仅仅存
在与 vector space，还存在于 function space。这个 function space 本质上还是一个
linear vector space
，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，
vector
就
是 function 了，而对应的标量就是实数或者复数。在 vector space 里，你有 vector v
可以写成
vector basis
的线性组合，那在
function space
里，
function f(x)
也可以写成
对应 function basis 的线性组合，也有 norm。你的 vector basis 可以是正交的，我的
function basis
也可以是正交的（比如
sin(t)
和
sin(2t)
）。唯一不同的是，我的
function basis 是无穷尽的，因为我的 function space 的维度是无穷的。好，具体来
