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newton

牛顿迭代

牛顿迭代法

非线性方程组

5星 · 超过95%的资源 72 浏览量 2022-07-15 00:25:02 上传评论 4 收藏 1KB RAR 举报

Fortran是一种古老的编程语言，尤其在科学计算领域中有着广泛的应用。本文将深入探讨如何使用Fortran实现牛顿法（Newton's Method）来求解非线性方程组。牛顿迭代法是一种强大的数值方法，它通过迭代过程逼近方程组的根。这种方法基于泰勒级数展开和线性化，尤其适用于解决多元非线性问题。我们需要理解非线性方程组的基本概念。非线性方程组是由多个未知数和它们的高次幂组成的方程集合，无法直接通过代数方法求解。例如，一个简单的二元非线性方程组可以表示为： \[ f(x, y) = 0 \] \[ g(x, y) = 0 \] 其中，\( f \) 和 \( g \) 是非线性函数。寻找这样的方程组的解，通常需要借助数值方法，如牛顿法。牛顿法的基本思想是：假设我们有一个近似解 \( x_k \)，通过构建并求解该点处的泰勒级数线性化方程，找到下一个更好的近似解 \( x_{k+1} \)。对于多元非线性方程组，牛顿迭代公式可以写成： \[ x_{k+1} = x_k - [J_f(x_k)]^{-1} f(x_k) \] 这里，\( J_f(x_k) \) 是函数 \( f \) 在点 \( x_k \) 的雅可比矩阵（Jacobian Matrix），\( f(x_k) \) 是方程组在 \( x_k \) 处的值向量。雅可比矩阵包含了每个方程对每个变量的偏导数，而其逆矩阵用于“校正”当前的近似解，以使方程更接近零。在Fortran中实现牛顿法时，我们需要编写以下步骤： 1. 定义非线性方程组及其偏导数函数。例如，对于二元方程组，我们可以定义两个函数 \( f1(x, y) \) 和 \( f2(x, y) \) 以及它们的偏导数 \( df1dx(x, y) \)，\( df1dy(x, y) \)，\( df2dx(x, y) \) 和 \( df2dy(x, y) \)。 2. 计算雅可比矩阵。这可以通过函数调用实现，得到雅可比矩阵的每个元素。 3. 求解雅可比矩阵的逆。Fortran 提供了多种求解矩阵逆的方法，如直接求逆或使用LU分解等。 4. 更新解。根据牛顿迭代公式计算新的近似解。 5. 设定迭代停止条件。这可能包括最大迭代次数、解的精度或雅可比矩阵的行列式的绝对值小于某个阈值等。 6. 循环执行步骤3-5，直到满足停止条件为止。在`Fortran Newton法求解非线性方程组.txt`这个文件中，你可以找到具体的Fortran代码实现。这段代码会展示如何将上述理论应用到实际编程中，帮助你理解和使用牛顿法解决实际的非线性方程组问题。通过分析和理解这段代码，你可以加深对牛顿迭代法及其在Fortran中的应用的理解。

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module M_GAUSS !高斯列主元消去法模块 contains subroutine LINEQ(A,B,X,N) !高斯列主元消去法 implicit real*8(A-Z) integer::I,K,N integer::ID_MAX !主元素标号 real*8::A(N,N),B(N),X(N) real*8::AUP(N,N),BUP(N) !A,B为增广矩阵 real*8::AB(N,N+1) real*8::VTEMP1(N+1),VTEMP2(N+1) AB(1:N,1:N)=A AB(:,N+1)=B !列主元消去法的核心部分 do K=1,N-1 ELMAX=DABS(AB(K,K)) ID_MAX=K !这段程序不是为了赋值最大元素给ELMAX,而是为了找出最大元素对应的标号 do I=K+1,N if(dabs(AB(I,K))>ELMAX) then ELMAX=AB(I,K) ID_MAX=I end if end do !交换两行元素，其他不变 VTEMP1=AB(K,:) VTEMP2=AB(ID_MAX,:) AB(K,:)=VTEMP2 AB(ID_MAX,:)=VTEMP1 !以上交换两行元素，然后开始消元 do I=K+1,N TEMP=AB(I,K)/AB(K,K) AB(I,:)=AB(I,:)-TEMP*AB(K,:) end do end do AUP(:,:)=AB(1:N,1:N) BUP(:)=AB(:,N+1) !调用上三角方程组的回代方法 call UP_TRI(AUP,BUP,X,N) end subroutine LINEQ subroutine UP_TRI(A,B,X,N) !上三角方程组的回代方法 implicit real*8(A-Z) integer::I,J,N real*8::A(N,N),B(N),X(N) X(N)=B(N)/A(N,N) !回代部分 do I=N-1,1,-1 X(I)=B(I) do J=I+1,N X(I)=X(I)-A(I,J)*X(J) end do X(I)=X(I)/A(I,I) end do end subroutine UP_TRI end module M_GAUSS module M_NEWTON !关于方程的模块 contains subroutine SOLVE() !计算非线性方程组 use M_GAUSS implicit real*8(A-Z) integer::I,ITMAX=50 integer::N=2 real*8::X(2),F(2),DX(2) real*8::DF(2,2) !ITMAX为最大允许迭代次数 !N为方程组维数 !DF为偏导数矩阵 open(unit=11,file="jieguo.txt") write(11,100) 100 format(/,T6,"Newton法计算非线性方程组迭代序列：",/) X=(/1.6,1.2/) TOL=1D-9 do I=1,ITMAX call FUNC(F,X) call JAC(DF,X) call LINEQ(DF,-F,DX,N) X=X+DX write(11,200)I,X 200 format(I5,2F16.10) !判断计算精度，满足误差要求时推出循环 DX2=DSQRT(DX(1)**2+DX(2)**2) if(DX2<TOL) exit end do end subroutine SOLVE subroutine FUNC(F,X) !方程函数 implicit real*8(A-Z) real*8::X(2),F(2) F(1) = X(1)**2 + X(2)**2 - 4 F(2) = X(1)**2 - X(2)**2 - 1 end subroutine FUNC subroutine JAC(DF,X) !偏导数矩阵 implicit real*8(A-Z) real*8::X(2),DF(2,2) DF(1,1) = 2*X(1) DF(1,2) = 2*X(2) DF(2,1) = 2*X(1) DF(2,2 )= -2*X(2) end subroutine JAC end module M_NEWTON program newton use M_NEWTON !调用Newton法中的函数 call SOLVE() end program newton