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图论是离散数学的一个重要分支，主要研究的是点与点之间通过边连接形成的图形结构。在MATLAB中实现图论算法，可以帮助我们更直观、高效地解决各种实际问题，如网络分析、最短路径计算、最小生成树、匹配问题等。本资料“tulun.zip_图论_图论 matlab”提供了MATLAB程序代码，对于学习和应用图论算法具有很高的参考价值。 1. 图的基本概念：图由顶点（节点）和边构成，可以分为无向图和有向图。无向图中的边没有方向，而有向图的边则具有方向性。边还可以带有权重，表示连接两个顶点的成本或距离。 2. MATLAB实现图数据结构：MATLAB中可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图。邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示顶点之间的连接；邻接表则使用链表存储每个顶点的邻接顶点。 3. 图的遍历：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图论中的基本操作。DFS通过递归或栈实现，BFS通常使用队列进行。这些算法在MATLAB中可轻松实现，用于查找路径、判断连通性等。 4. 最短路径算法：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法是求解图中两点间最短路径的常用方法。Dijkstra算法适用于带权有向图，而Floyd-Warshall适用于求解所有对最短路径。 5. 最小生成树算法：Prim算法和Kruskal算法是找到图中最小生成树的常用方法。最小生成树是一棵树，包含原图的所有顶点，且边的权重之和最小。 6. 匹配问题：匈牙利算法是解决二分图的最大匹配问题的经典算法，适用于资源分配、任务调度等问题。 7. 图的其他算法：包括拓扑排序、强连通分量、欧拉图和哈密顿回路等，这些都是图论的重要内容，MATLAB代码可以帮助理解和实现这些算法。 8. 实际应用：图论在许多领域都有广泛应用，如社交网络分析、交通网络优化、电路设计、生物信息学等。MATLAB程序代码可以帮助将理论知识转化为实际解决方案。通过“图论算法及其MATLAB程序代码.pdf”，你可以深入理解图论的概念，学习如何在MATLAB中实现这些算法，并应用于实际问题。这不仅有助于提升编程技能，也能增强对图论理论的理解，为解决复杂问题提供工具和思路。

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图论算法及其MATLAB程序代码.pdf 62KB

图论算法及其 MATLAB 程序代码

求赋权图 G = (V, E , F )中任意两点间的最短路的 Warshall-Floyd 算法：

设 A = (a

)

为赋权图 G = (V, E , F )的矩阵, 当 v

∈E 时 a

= F (v

), 否则取 a

=0, a

= +∞(i≠j ), d

表示从 v

到 v

点的距离, r

表示从 v

到 v

点的最短路中一个点的编号.

① 赋初值. 对所有 i, j, d

= a

, r

= j. k = 1. 转向②

② 更新 d

, r

. 对所有 i, j, 若 d

+ d

k j

＜d

, 则令 d

= d

+ d

k j

, r

= k, 转向③.

③ 终止判断. 若 d

＜0, 则存在一条含有顶点 v

的负回路, 终止; 或者 k = n 终止; 否则

令 k = k + 1, 转向②.

最短路线可由 r

得到.

例 1 求图 6-4 中任意两点间的最短路.

解：用 Warshall-Floyd 算法, MATLAB 程序代码如下：

n=8;A=[0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf

2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf

8 6 0 7 5 1 2 Inf

1 Inf 7 0 Inf Inf 9 Inf

Inf 1 5 Inf 0 3 Inf 8

Inf Inf 1 Inf 3 0 4 6

Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3

Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0]; % MATLAB 中, Inf 表示∞

D=A; %赋初值

for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=j;end;end %赋路径初值

for(k=1:n)for(i=1:n)for(j=1:n)if(D(i,k)+D(k,j)<D(i,j))D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); %更新 dij

R(i,j)=k;end;end;end %更新 rij

k %显示迭代步数

D %显示每步迭代后的路长

R %显示每步迭代后的路径

pd=0;for i=1:n %含有负权时

if(D(i,i)<0)pd=1;break;end;end %存在一条含有顶点 vi 的负回路

if(pd)break;end %存在一条负回路, 终止程序

end %程序结束

图 6-4

Kruskal 避圈法：将图 G 中的边按权数从小到大逐条考察, 按不构成圈的原则加入到 T

中(若有选择时, 不同的选择可能会导致最后生成树的权数不同), 直到 q (T ) = p (G ) − 1 为

止, 即 T 的边数= G 的顶点数− 1 为止.

Kruskal 避圈法的 MATLAB 程序代码如下：

n=8;A=[0 2 8 1 0 0 0 0

2 0 6 0 1 0 0 0

8 6 0 7 5 1 2 0

1 0 7 0 0 0 9 0

0 1 5 0 0 3 0 8

0 0 1 0 3 0 4 6

0 0 2 9 0 4 0 3

0 0 0 0 8 6 3 0];

k=1; %记录 A 中不同正数的个数

for(i=1:n-1)for(j=i+1:n) %此循环是查找 A 中所有不同的正数

if(A(i,j)>0)x(k)=A(i,j); %数组 x 记录 A 中不同的正数

kk=1; %临时变量

for(s=1:k-1)if(x(k)==x(s))kk=0;break;end;end %排除相同的正数

k=k+kk;end;end;end

k=k-1 %显示 A 中所有不同正数的个数

for(i=1:k-1)for(j=i+1:k) %将 x 中不同的正数从小到大排序

if(x(j)<x(i))xx=x(j);x(j)=x(i);x(i)=xx;end;end;end

T(n,n)=0; %将矩阵 T 中所有的元素赋值为 0

q=0; %记录加入到树 T 中的边数

for(s=1:k)if(q==n)break;end %获得最小生成树 T, 算法终止

for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)if (A(i,j)==x(s))T(i,j)=x(s);T(j,i)=x(s); %加入边到树 T 中

TT=T; %临时记录 T

while(1)pd=1; %砍掉 TT 中所有的树枝

for(y=1:n)kk=0;

for(z=1:n)if(TT(y,z)>0)kk=kk+1;zz=z;end;end %寻找 TT 中的树枝

if(kk==1)TT(y,zz)=0;TT(zz,y)=0;pd=0;end;end %砍掉 TT 中的树枝

if(pd)break;end;end %已砍掉了 TT 中所有的树枝

pd=0; %判断 TT 中是否有圈

for(y=1:n-1)for(z=y+1:n)if(TT(y,z)>0)pd=1;break;end;end;end

if(pd)T(i,j)=0;T(j,i)=0; %假如 TT 中有圈

else q=q+1;end;end;end;end;end

T %显示近似最小生成树 T, 程序结束

求二部图 G 的最大匹配的算法(匈牙利算法), 其基本思想是：从 G 的任意匹配 M 开始,

对 X 中所有 M 的非饱和点, 寻找 M −增广路. 若不存在 M −增广路, 则 M 为最大匹配; 若存

在 M −增广路 P, 则将 P 中 M 与非 M 的边互换得到比 M 多一边的匹配 M

, 再对 M

重复上

述过程.

设 G = ( X, Y, E )为二部图, 其中 X = {x

, x

, … , x

}, Y = { y

, y

, … , y

}. 任取 G 的一初

始匹配 M (如任取 e∈E, 则 M = {e}是一个匹配).

① 令 S = φ , T = φ , 转向②.

② 若 M 饱和 X \ S的所有点, 则 M 是二部图 G 的最大匹配. 否则, 任取 M 的非饱和点

u∈X \ S , 令 S = S ∪{ u }, 转向③.

③ 记 N (S ) = {v | u∈S, uv∈E

}. 若 N (S ) = T, 转向②. 否则取 y∈N (S ) \ T. 若 y 是 M

的饱和点, 转向④, 否则转向⑤.

④ 设 x y∈M, 则令 S = S ∪{ x }, T = T ∪{ y }, 转向③.

⑤ u − y 路是 M−增广路, 设为 P, 并令 M = M⊕P, 转向①. 这里 M⊕P = M∪P \ M∩

P, 是对称差.

由于计算 M−增广路 P 比较麻烦, 因此将迭代步骤改为：

① 将 X 中 M 的所有非饱和点(不是 M 中某条边的端点)都给以标号 0 和标记*, 转向②.

② 若 X 中所有有标号的点都已去掉了标记*, 则 M 是 G 的最大匹配. 否则任取 X 中一

个既有标号又有标记*的点 x

, 去掉 x

的标记*, 转向③.

③ 找出在 G 中所有与 x

邻接的点 y

(即 x

∈E ), 若所有这样的 y

都已有标号, 则转向

②, 否则转向④.

④ 对与x

邻接且尚未给标号的y

都给定标号i. 若所有的y

都是M的饱和点, 则转向⑤,

否则逆向返回. 即由其中 M的任一个非饱和点y

的标号i找到x

, 再由x

的标号k 找到y

, … ,

最后由 y

的标号 s 找到标号为 0 的 x

时结束, 获得M −增广路 x

… x

, 记P = {x

, … ,

}, 重新记 M 为 M⊕P, 转向①.

⑤ 将 y

在 M 中与之邻接的点 x

(即 x

∈M), 给以标号 j 和标记*, 转向②.

例 1 求图 6-9 中所示的二部图 G 的最大匹配.

匈牙利算法的 MATLAB 程序代码如下：

m=5;n=5;A=[0 1 1 0 0

1 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 0 0 1 1];

M(m,n)=0;

for(i=1:m)for(j=1:n)if(A(i,j))M(i,j)=1;break;end;end %求初始匹配 M

if(M(i,j))break;end;end %获得仅含一条边的初始匹配 M

while(1)

for(i=1:m)x(i)=0;end %将记录 X 中点的标号和标记*

for(i=1:n)y(i)=0;end %将记录 Y 中点的标号和标记*

for(i=1:m)pd=1; %寻找 X 中 M 的所有非饱和点

for(j=1:n)if(M(i,j))pd=0;end;end

if(pd)x(i)=-n-1;end;end %将 X 中 M 的所有非饱和点都给以标号 0 和标记*, 程序中用 n+1 表

示 0 标号, 标号为负数时表示标记*

pd=0;

while(1)xi=0;

for(i=1:m)if(x(i)<0)xi=i;break;end;end %假如 X 中存在一个既有标号又有标记*的点, 则任

取 X 中一个既有标号又有标记*的点 xi

if(xi==0)pd=1;break;end %假如 X 中所有有标号的点都已去掉了标记*, 算法终止

x(xi)=x(xi)*(-1); %去掉 xi 的标记*

k=1;

for(j=1:n)if(A(xi,j)&y(j)==0)y(j)=xi;yy(k)=j;k=k+1;end;end %对与 xi 邻接且尚未给标号的 yj 都

给以标号 i

if(k>1)k=k-1;

for(j=1:k)pdd=1;

for(i=1:m)if(M(i,yy(j)))x(i)=-yy(j);pdd=0;break;end;end %将 yj 在 M中与之邻接的

点 xk (即 xkyj∈M), 给以标号 j 和标记*

if(pdd)break;end;end

if(pdd)k=1;j=yy(j); %yj 不是 M 的饱和点

while(1)P(k,2)=j;P(k,1)=y(j);j=abs(x(y(j))); %任取 M 的一个非饱和点 yj, 逆向返回

if(j==n+1)break;end %找到 X 中标号为 0 的点时结束, 获得 M-增广路 P

k=k+1;end

for(i=1:k)if(M(P(i,1),P(i,2)))M(P(i,1),P(i,2))=0; %将匹配 M 在增广路 P 中出现的边

去掉

else M(P(i,1),P(i,2))=1;end;end %将增广路 P 中没有在匹配 M中出现的边加入

到匹配 M 中

break;end;end;end

if(pd)break;end;end %假如 X 中所有有标号的点都已去掉了标记*, 算法终止

M %显示最大匹配 M, 程序结束

图 6-9

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钱亚锋

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