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Dinkelbach复杂度分析.pdf

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Tomomi MATSUI * Yasufumi SARUWATARI

Maiko SHIGENO

(METR92-14, December 1992 )

* Department of Mathematical Engineering and Information Physics

Faculty of Engineering, UniversityofTokyo

Bunkyo-ku, Tokyo 113, Japan

Department of So cial Sciences

The National Defense Academy

Hashirimizu, Yokosuka, Kanagawa 239, Japan

Department of Management Science

Science UniversityofTokyo

Kagurazaka, Shinjuku-ku, Tokyo 162, Japan

Abstract:

The 0-1 fractional programming problem minimizes the fractional ob-

jective function (

111

)

(

111

un-

der the condition that

;

111

)



f

;

where  is the set of

feasible solutions. For a fractional programming problem, Dinkelbach developed an

algorithm which obtains an optimal solution of the given problem by solving a se-

quence of subproblems Q(



), in which the linear ob jective function



minimized under the same condition



In this pap er, we show that Dinkel-

bach's algorithm solves at most O(log(

)) subproblems in the worst case, where

= max

max

;

111

;

max

;

111

;

1 0-1 Fractional Programming Problems

The problem of maximizing or minimizing the ratio of two linear functions is called

a fractional programming problem and/or a hyperbolic programming problem. Fractional

programming problems are found in various elds [22]. A frequent example which o ccurs

in economics is nding the most favorable ratio of revenues and allo cations sub ject to re-

strictions on the availability of goo ds. In addition, measures of eciency for a system are

represented as ratios such as prot/time, return/risk and cost/time. There are a lot of arti-

cles which dealing with analysis and algorithms for this class of problems [3, 5, 12, 20, 24].

There are several classes of fractional programming problems that have b een studied ex-

tensively. Those are 0-1 fractional programming problems [1], which include minimal ratio

spanning tree problems [4], minimum ratio circuit problems [8, 6, 19], fractional knapsack

problems [15], and fractional cutting stock problems [10]. In this pap er, we study 0-1 frac-

tional programming problems described b elow.

Let

;

111

) and

;

111

)be

-dimensional integer vectors. Then

a 0-1 fractional programming problem is formulated as:

FP: minimize

;

sub ject to



f

;

where

denotes the column vector (

;

111

)

The subset of 0

1valued vectors

 is called

feasible region,

and when a 0

1valued vector

is an element of 

;

we say

is a

feasible solution.

Throughout the pap er, we assume that for any feasible

solution

;

the value

is p ositive. Here we denote

= max

max

;

111

;

and

= max

max

;

111

;

Then, it is clear that the optimal value of the problem is in the

interval [

nC; nC

]

For fractional programming problems, there are many algorithms which solve a sequence

of 0-1 integer programming problems with linear ob jective function describ ed below.



): minimize



sub ject to



f

;

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