分数规划.pdfadfdafsaff

【分数规划】是一种优化问题，目标是找到一组变量的组合，使得某个分数（分子与分母的比值）达到极值，例如最小化或最大化。这类问题通常涉及到两个权重，例如物品的重量和价值，要求在一定的约束条件下寻找最优解。 在解决分数规划问题时，常常会利用【二分答案】的策略。这是因为问题往往具有单调性，即如果存在一个解使得分数达到某值，那么所有大于或小于这个值的解也都是可行的。通过二分查找，我们可以不断缩小可能的答案范围，直到找到最优点。 具体步骤如下： 1. 初始化二分答案的上下界。 2. 对于每次二分的中间值，检查是否存在满足条件的解。 3. 如果存在满足条件的解，则更新下界；否则，更新上界。 4. 当上下界接近到满足精度要求时，停止二分，并返回当前的最优解。 例如，在【CF1486D - Max Median】这道题中，我们需要找到序列中所有长度为K的连续子区间中中位数的最大值。由于答案具有单调性，可以通过二分答案来解决。对于每个中位数值，我们可以检查区间内的数是否能构造出至少K/2个大于等于该值的数，以及K/2个小于该值的数。维护前缀和，我们可以在O(nlogn)的时间复杂度内完成检查。 另一道题【E1 - POJ 2976 - Dropping tests】虽然没有给出详细描述，但我们可以推测它可能涉及在一定条件下选择测试，使得某些指标（如通过率）达到最优。在这种情况下，问题可能可以通过转化成分数规划的形式来解决，比如将通过的测试数量与总的测试数量之比作为分数，寻找最大化或最小化的策略。 分数规划问题还可以与多种算法结合，例如： 1. **0/1背包**：在有限的容量下选择物品，追求价值与重量比的最大化。 2. **生成树**：在网络中寻找边的权值与总权重比最大的子集。 3. **负环判定**：在图中寻找具有负权值循环的路径，以确定是否存在改善比率的机会。 4. **网络流**：在流量网络中寻找最大密度子图，即流量与容量比的最大值。 5. **费用流**：在考虑费用的情况下，找到最优的比率流。 通过将这些算法与分数规划相结合，我们可以解决一系列复杂的问题，比如资源分配、最优决策制定等。理解并熟练运用分数规划和二分答案的技巧，对于解决实际工程和竞赛中的问题至关重要。