76二项式定理(一).docx

根据给定文件的信息，我们可以提炼出关于二项式定理的相关知识点，并进行详细的解析。 ### 二项式定理 #### 1. 基本概念 二项式定理是指将形如\((a+b)^n\)的形式展开成多项式的一种方法。其中\(a\)和\(b\)是任意数，而\(n\)是非负整数。二项式定理的表达式为： \[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \] 其中，\(\binom{n}{k}\)表示组合数，也称为“\(n\)选\(k\)”，即从\(n\)个不同元素中取出\(k\)个元素的组合数，计算公式为\(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)。 #### 2. 展开式特点 - **项数**：展开后的项数总是比\(n\)多1，即\(n+1\)项。 - **指数**：每一项中\(a\)的指数与\(b\)的指数之和总是\(n\)。 - **系数**：每一项的系数是由组合数\(\binom{n}{k}\)确定的。 - **通项公式**：展开式中的第\(k+1\)项的一般形式可以表示为\(\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\)。 #### 3. 教学目标 - 理解并掌握二项式定理及其展开式的特点。 - 能够运用展开式中的通项公式求特定项。 - 提高归纳推理能力，学会从特殊到一般的方法。 #### 4. 教学重难点 - **二项式定理及结构特征**：包括项数、指数、系数等。 - **展开式中的通项公式**：掌握如何利用通项公式解决实际问题。 - **二项式系数与项系数的区别**：二项式系数是指组合数\(\binom{n}{k}\)，而项系数还包括了\(a\)和\(b\)的幂次的乘积。 ### 典例解析 #### 例1 1. 求\((1+2x)^7\)的展开式中第4项的二项式系数及系数。 - 第4项对应的\(k=3\)，因此二项式系数为\(\binom{7}{3}=35\)。 - 第4项为\(\binom{7}{3}1^{7-3}(2x)^3=35\times 8x^3=280x^3\)，故系数为280。 2. \(\left(\frac{x}{1}\right)^{12}\)的展开式中，含\(x\)的正整数次幂的项共有多少项？ - 此处实际上为\((x)^{12}\)，所以每一项都含有\(x\)的正整数次幂，共13项（\(n+1\)项）。 3. 展开式的前三项系数和为129，这个展开式中是否含有常数项？一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来。 - 由题意知前三项系数分别为\(\binom{n}{0},\binom{n}{1},\binom{n}{2}\)，则\(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}=1+n+\frac{n(n-1)}{2}=129\)。解得\(n=16\)或\(n=-17\)（舍去）。对于\((1+2x)^{16}\)，其第一项为常数项，系数为1；第二项为一次项，系数为\(16\times 2=32\)。 ### 练习题解析 #### 选做题 1. 求\(\left(1-\frac{2}{x}\right)^5\)的展开式中含\(x^2\)项。 - 通过通项公式\(\binom{5}{k}1^{5-k}\left(-\frac{2}{x}\right)^k\)，当\(k=3\)时，\(\binom{5}{3}1^{2}\left(-\frac{2}{x}\right)^3=10\times (-8)x^{-3}=-80x^{-3}\)。由于题目要求含\(x^2\)项，此题无解。 2. 求\(\left(1-\frac{x}{1}\right)^{10}\)的展开式中的常数项。 - 常数项即为不含\(x\)的项，对应\(k=0\)的情况，系数为\(\binom{10}{0}1^{10}\left(-\frac{x}{1}\right)^0=1\)。 3. 求\(\left(x^3-x^{-1}\right)\left(2x^2-1\right)\)的展开式中含\(x\)的项。 - 先分别展开两项，然后相乘，找出含\(x\)的项。具体步骤略，最终结果包含\(x\)的项为\(-2x^3+2x^5+x-x^{-1}\)。 ### 课后作业解析 1. \((a+b)^{2n}\)的展开式项数为\(2n+1\)项。 2. \((x+y)^n\)的二项展开式中，第\(r\)项的二项式系数是\(\binom{n}{r-1}\)。 3. 在\(\left(x+\frac{1}{x^5}\right)^{11}\)的展开式中，\(x^5\)的系数为\(\binom{11}{3}\)。 4. 在\(\left(x-\frac{1}{x}\right)^6\)的展开式中，\(x^2\)的系数为\(\binom{6}{2}(-1)^2=15\)。 5. 若\(\left(ax+1\right)^5\)的展开式中\(x^3\)的系数是80，则实数\(a\)的值是\(2\)。 6. 在\(\left(x^2-\frac{2}{x^n}\right)^5\)的二项展开式中，若常数项为\(\binom{5}{n}(-2)^n\)，则需解方程求出\(n\)的具体值。 7. 在\(\left(\frac{x}{3}\right)^{24}\)的展开式中，\(x\)的幂的指数是整数的项共有25项。 8. 在\(\left(\frac{1}{3x}-x\right)^{10}\)的展开式中含\(x\)的正整数指数幂的项数共有5项。 以上内容涵盖了二项式定理的基础理论及实际应用，有助于学生深入理解和掌握该知识点。